§ 54. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета влияния сжимаемости на распределение давления

Следуя С. А. Христиановичу, введем прежде всего в уравнения Чаплыгина (46) вместо независимой переменной новую переменную А, равную

тогда, замечая, что

перепишем уравнения Чаплыгина (46) в виде:

Если теперь ввести вместо X независимую переменную связанную с к дифференциальным соотношением

то система уравнений (49) приобретет "каноническую" форму:

где величина К представляет следующую функцию

Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля сжимаемым газом при сравнительно малых дозвуковых скоростях, основанное на применении упрощенной системы уравнений, было дано впервые проф. Н. А. Слезкиным в 1935 г.

С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования строгой системы уравнений (51) путем последовательных приближений.

В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода С. А. Христиановича и удовольствоваться лишь простейшим приближением, дающим при не слишком больших дозвуковых скоростях удовлетворительную точность.

Выразим величину К в функции числа Для этого заметим, что по формулам (66) гл. IV:

а следовательно:

Таким образом, К, как функция от числа равна:

Приводим график зависимости величины от (рис. 108), а также табл. 7 значений Для воздуха

Таблица 7 (см. скан)

Как видно из графика и таблицы, при не слишком близких к единице значениях и мало отличается от единицы; так, например, при величина только на 5% отличается от единицы.

Заменим в системе (51) У К постоянной величиной, которую включим в состав функции . В частности, можно положить или

Рис. 108.

Тогда вместо точной системы уравнений (51) получим в плоскости приближенную систему уравнений

ничем не отличающуюся от условий Коши — Риманна, связывающих в плоском движении несжимаемой жидкости. Равенства (53) естественно сравнить с аналогичной системой уравнений в плоскости годографа для несжимаемой жидкости ("змейка" над буквой показывает, что соответствующая величина относится к потоку несжимаемой жидкости):

Здесь под понимается угол вектора скорости несжимаемого потока с осью абсцисс, а под величина, определяемая равенством

вытекающим из (50) при

Предположим теперь, что в физической плоскости течения несжимаемой жидкости определено обтекание заданного крылового профиля С с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней кромки профиля. Вычисляя в функции от х, у, можем определить и все элементы в плоскости годографа в частности граничные условия задачи в этой плоскости.

Переходя к приближенному решению задачи обтекания контура сжимаемым газом, потребуем, чтобы:

Для этого, согласно (50) и (54), достаточно связать скорости или, что все равно, безразмерные скорости соотношением:

котором константу можно определить из условия, чтобы отношение стремилось к единице, когда X стремится к нулю. Соответствующая связь или ввиду некоторой громоздкости ее аналитического выражения, приводится в табл. 8 и в виде графика — на рис. 108.

Таблица 8 (см. скан)

Заметим, что при рассматриваемом допущении соотношение (55) могло бы быть заменено более простым приближенным.

При выполнении требования (55) система равенств (53) позволяет обычными приемами теории плоского несжимаемого потока найти в плоскости годографа поток сжимаемого газа, отвечающий тем же граничным условиям, что несжимаемый поток в плоскости Однако отсюда еще не следует, что и в физической плоскости течения z контур С совпадет по форме с изученным в плоскости несжимаемого потока контуром С.

Как показывает основное равенство (41), элементы дуг контуров, а следовательно, и сами контуры не будут одинаковы. Можно было бы доказать, что при не слишком больших дозвуковых скоростях разница в форме профилей невелика. В ранее цитированных работах С. А. Христиановича вопрос об указанном различии между профилями, о возникающих при этом изменениях в потребной для плавного обтекания задней кромки профиля циркуляции и другие относящиеся сюда вопросы подробно исследованы.

В дальнейшем, в порядке простейшего приближения, будем пренебрегать указанной разницей между формой профилей в физических плоскостях сжимаемого и несжимаемого потоков.

Чтобы получить интересующее нас соотношение между распределениями давлений но поверхности профиля при сжимаемом и несжимаемом обтекании, составим выражения для соответствующих коэффициентов давления Имеем по теореме Бернулли для несжимаемого газа:

и для сжимаемого:

Замечая, что по (52)

получим:

и, следовательно,

или, после простых приведений:

Задаваясь скоростью на бесконечности в сжимаемом обтекании или величиной найдем по табл. 8 соответствующее значение затем, придавая различные значения I и определяя по той же таблице X, определим связь между при помощи параметрических формул (56) и (57), что и дает искомое решение.

Рис. 109.

На рис. 109 и 110 представлены рассчитанные по первому приближению Христиановича [формулы (56) и (57)] номограммы связи

(кликните для просмотра скана)

между и для различных значений числа набегающего потока.

Пунктиром на рис. 110 указана граница применимости первого приближения; вправо от этой линии к 0,85 и первое приближение уже недостаточно для учета влияния сжимаемости.

На рис. 109 дана номограмма пересчета положительных давлений (разрежений), на рис. 110 — отрицательных давлений. Пересчет по этим номограммам при заданном Мот не составляет труда.

Как показывают номограммы, влияние сжимаемости газа на распределение коэффициента давления в первом приближении сказывается в увеличении абсолютной величины коэффициента давления.

Рис. 111.

С ростом числа картина распределения давлений как бы обостряется: растут разрежения и давления, кривые распределения давления по верхней и нижней поверхностям раздвигаются, ограничивая все большую площадь; так что, естественно, возрастает циркуляция и коэффициент подъемной силы

Существенно отметить, что при этом становятся более высокими и крутыми пики разрежения.

Рассмотренное приближение не позволяет обнаружить замеченного на опыте добавочного смещения пиков разрежения вниз по потоку, аналогичного тому, которое имеет место в потоке несжимаемой жидкости при увеличении относительной толщины профиля (рис. 111).

Примером влияния числа на распределение коэффициента давления могут служить кривые, показанные на рис. 112, относящиеся к верхней поверхности некоторого крылового профиля.

Рис. 112.

Рис. 113.

Можно разыскать и непосредственную, явную связь между рок и если воспользоваться указанным Чаплыгиным приближенным приемом замены действительной изэнтропы касательной к ней прямой.

Возьмем точку изэнтропы (рис. 113)

и проведем касательную к изэнтропе в этой точке; вычисляя угловой коэффициент

получим уравнение касательной в виде

Используя приближенную изэнтропу (58) и вводя вместо новую переменную

получим:

после чего система уравнений (45) § 53 примет вид:

после замены переменных,

совпадет с системой уравнений (53); при атом Соотношение безразмерных скоростей (55) заменится простым приближенным равенством

которое легко интегрируется и дает

Подчиняя постоянную интегрирования С условию:

найдем, что следовательно, окончательная форма приближенной связи между скоростями обтекания крылового профиля несжимаемым и сжимаемым газом будет иметь вид:

или, разрешая относительно

Выведенные только что приближенные соотношения вытекают из предыдущих точных, если положить в них предварительно, где это надо, заменив на по (59). Такой формальный прием полезен для сокращения выкладок и будет далее использован.

Выразим через эти новые переменные. Будем иметь непосредственно по :

Далее, пользуясь определением (59), получим при вместо

Но, согласно (60):

так что

Из (61) сразу следует:

кроме того, при

Подставляя эти выражения в равенство (62), получим

Наконец, заменяя еще в последней формуле, по (60),

после простых приведений, окончательно получим искомую приближенную формулу:

Если при малых значениях что соответствует теории тонкого крыла, пренебречь вторым слагаемым в знаменателе, то формула эта перейдет в ранее указанное соотношение Прандтля:

Формула Жуковского подъемной силы крылового профиля

остается справедливой и в случае дозвукового обтекания профиля сжимаемым газом, причем циркуляция, соответствующая этому обтеканию, может быть получена из циркуляции, соответствующей несжимаемому обтеканию, по формуле

Аналогичные формулы имеют место и для коэффициентов подъемной силы и момента.

Рис. 114.

На рис. 114 приведено сравнение с опытом результатов расчета коэффициента давления в одной точке верхней поверхности крылового профиля находящейся на расстоянии хорды от носика, при угле атаки и при различных значениях числа

Как видно из рисунка, примерно все методы, включая и приближенную формулу Прандтля (63), совпадают. Профиль имеет двенадцатипроцентную относительную толщину и сравнительно большую (4%) вогнутость; этим объясняется, почему приближенная формула Прандтля, пригодная лишь для тонких, мало изогнутых профилей при малых углах атаки, оказывается неприменимой даже при сравнительно небольших значениях числа Кривая рассчитанная по Хрисшановичу,

совпадает с кривой, соответствующей формуле (63), до чисел а затем располагается несколько выше; следует отметить, что, как это видно из номограммы на рис. 110, при мы уже выходим за границы применимости принятого приближения. На том же рисунке показаны жирными точками результаты экспериментов.