8. Предельная форма волны

По ходу дела выясняется, что квазистационарность — более расплывчатое понятие, чем предполагалось вначале (см. разд. 5), и оно частично ускользнуло от нас. Решение, соответствующее случаю (20) предыдущего раздела, приближается к стационарному локально в головной части волны, так как оно расплывается с ростом времени, и таким образом все производные постепенно убывают. Следовательно, приближение к локальной стационарности опять соответствует прямой временной асимптотике, и расплывание показывает, почему условие (20) удовлетворяется все более строго с течением времени и, следовательно, дает предельное приближение. Однако здесь нет приближения к глобальной стационарности, так как волна расплывается с постоянной скоростью (поскольку характеристики являются прямыми) и соответственно нет тенденции к сохранению скорости изменения потока массы, или потока импульса, или потока энергии через головную часть ударной волны.

Кроме того, парадокс Мортона (см. разд. 1) в действительности и решен, так как условие монотонности, неявно присутствующее в случае (20), ограничивает этот случай волнами с уменьшающимися магнитным давлением и плотностью числа частиц (фиг. IX. 6). Если не считать переходных решений, наш анализ не дает ударных волн, в которых эти физические переменные возрастают.

Поэтому необходимо допустить, что случаи (12), (14), (20), рассмотренные в разд. 7, в действительности не являются исчерпывающими. Остается еще та математическая возможность, что ни ни не стремятся к какому-либо пределу (как отмечено в разд. 2, вообще говоря, параметры как функции не обязаны быть взаимно упорядоченными). В работах [5,9] был изучен этот четвертый случай и доказано, что он не совместим с основными уравнениями и масштабными условиями. Эта проверка закрыла последнюю логическую лазейку, так и не разрешив парадокса.

Затем было предпринято повторное исследование случая (17) — единственной альтернативы случая (20), которая могла бы прцэести к предельному приближению. Так как то в уединенной волне (19) должно хотя бы кратковременно возрастать магнитное давление и, поскольку это — исключительное решение (18), возникает даже вопрос, является ли само утверждение (18) достаточно точным. Оно возникает при анализе уравнения

где правая часть такова, что гладкая функция которая стремится к нулю при для всех и имеет тривиальную производную Отсюда следует (см. разд. 7), что сама должна быть равна нулю; это и приводит к (18).

Однако, прежде чем сделать этот вывод, мы можем проинтегрировать (21) и получить

где так что как и тривиальна (от положительной константы в соотношении (18) можно избавиться линейной заменой переменных). Правая часть уравнения (22) представляет собой кубичный полином по коэффициенты которого являются медленными функциями и действительное решение существует для всех только если этот кубичный полином имеет дискриминант На фиг. IX.7 показана критическая кривая на плоскости переменных [11]. Начальное равновесие (9) соответствует началу координат, из которого изображающая точка может отклоняться только на тривиальную величину при любом

Фиг. IX. 7. Поведение дискриминанта

Можно, однако, показать [5], что из масштабных условий следует для Поэтому в случае (17) точным результатом будет не соотношение (19), а тот факт, что масштабные условия допускают только решения, для которых изображающая точка отклоняется в область (фиг. IX. 7) на тривиальную величину. Однако любая точка в области сколь бы она ни была близка к кривой уединенной волны соответствует периодическим решениям (22).

Поэтому в случае (17) любое решение должно в пределе приближаться к почти периодическому цугу волн (фиг. IX. 8), в котором магнитное давление растет. Первый гребень сколь угодно мало отличается от уединенной волны (19) шириной порядка а последующие гребни очень похожей формы имеют ширину порядка

Фиг. IX. 8. Почти периодический волновой цуг как один из возможных квазистационарных переходов.

На расстояниях многих длин волн медленное изменение параметра может привести к существенному изменению формы волны. Однако этот вопрос выходит за рамки анализа головной части волны.

Итак, в лучшем случае могут иметься одна слабая переходная волна, сколь угодно близко приближающаяся к локально стационарной, а именно монотонная волна, соответствующая случаю (20), причем в этой волне магнитное давление убывает, и не более чем одна такая волна, в которой магнитное давление растет, а именно только что описанная волна, начинающаяся с почти периодического цуга.

Аналогичный анализ для косых ударных волн был проведен Олсоном [9], причем для ударных волн, существенно отличающихся от нормальных поперечных, получаются существенно иные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)