3в. Дисперсия дельта-импульса в упругом стержне

Уравнение движения, описывающее распространение продольной волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции, было приведено в разд. 1 в качестве примера II. Дисперсионное соотношение и групповая скорость, соответствующие этому уравнению, определяются как

Отсюда видно, что при групповая скорость достигает своего максимального значения, Значит, при следует ожидать экспоненциально малого сигнала, а в окрестности должны существовать волны Эйри с амплитудой порядка Следом за ними будут распространяться гармонические волны вида (21) с амплитудой, пропорциональной

Получим соответствующее решение для случая бесконечного стержня с начальным возмущением

где - дельта-функция Дирака. Полученные результаты будут справедливы и для гравитационных волн на поверхности

мелкой воды, рассматриваемых в рамках приближения Буссинеска.

Из соображений симметрии ясно, что достаточно рассмотреть только правую половину стержня Полагая чтобы определить волновые числа для доминирующего в точке возмущения, получаем из (29)

так что

Как и следовало ожидать, величина действительна только для Тогда подстановка приведенных выше соотношений в выражение для приводит к формуле

Когда это выражение становится несправедливым и вместо него нужно использовать решение в виде волны Эйри (24). Однако поскольку в данной задаче это происходит в точке которая является пределом интегрирования в формуле (20), то необходимо взять половину решения (24). Таким образом, для получим

(так как при имеем

Чтобы завершить решение, необходимо знать асимптотическое поведение волны при Проще всего это сделать с помощью преобразования Лапласа и метода наискорейшего спуска.

Применяя преобразование Лапласа к выражению (20), получаем

или, для нашей задачи,

Фиг. II. 2. Контур интегрирования, соответствующий преобразованию Лапласа для случая распространения импульса в упругом стержне

Значит, эквивалентное представление решения дается обратным преобразованием Лапласа

Чтобы сделать функцию однозначной, производится разрез в -илоскости между точками ветвления как показано на фиг. II. 2. Далее найдем, что в точках

расположены седла, которые лежат на действительной оси при Траектория наискорейшего спуска, проходящая через показана на фиг. II. 2. Касательная к в точке вертикальна, и интеграл по эквивалентен интегралу по Следовательно, к интегрированию по можно применить метод седловой точки. Тогда из формулы (28) получим

Фиг. 11. 3. Расплывание волны в соответствии с выражениями для начиная с

Решения для могут быть связаны с волнами Эйри (31) вблизи Полагая в формулах (32) и (30) соответственно и разлагая получающиеся выражения вблизи получаем для главных членов

Эти выражения в точности совпадают с асимптотическими разложениями функции (31) для случаев соответственно. Это может быть показано с помощью выражения (25).

На фиг. II. 3 графически представлен результат численного расчета для «полностью диспергированной» волны, определяемой выражениями (30) — (32) при для значений меняющихся от 0,71475 до 1,00038. Вспомним, что элементарная теория волн в стержне опирается на волновое уравнение (1), которое определяет волну неизменной формы движущуюся в положительном направлении вдоль оси с единичной скоростью. Здесь с учетом дисперсии результат существенно иной. Для всех существует синусоидальная волна конечной амплитуды, уменьшающейся по мере распространения на большое расстояние. Максимальное возмущение находится вблизи и распространяется с единичной скоростью. Перед ним распространяется экспоненциально затухающий предвестник.