1б. Маятник и нелинейность

Простым примером нелинейного осциллятора служит маятник. Рассмотрим тело массой подвешенное на невесомой нити длиной I и совершающее движение в некоторой плоскости (фиг. 1.2).

Фиг. 1.2. Маятник.

Момент инердии относительно центра вращения (точки подвеса) равен Когда тело отклоняется на угол возвращающий момент равен . В результате получаем основное уравнение в виде

где

снова определяет собственную частоту.

Если максимальное значение мало, мы можем приближенно заменить на Тогда уравнение (7) выглядит так же, как уравнение (2) для линейного осциллятора. Полагая мы, в сущности, можем считать горизонтальное движение подвешенного тела таким же, как в случае, если бы тело было прикреплено к пружине с упругой постоянной

При отказе от упрощающего предположения основное уравнение (7) становится нелинейным (оставаясь недиссипативным). Его решение выражается через эллиптические интегралы: мы не будем вдаваться в детали этого решения, так как это увело бы нас слишком далеко от изучения волн. В этом случае энергия по-прежнему сохраняется, однако уже нет равномерного распределения между кинетической и потенциальной энергиями. Если энергия меньше чем то движение остается колебательным, но его частота теперь зависит от энергии. Движение больше нельзя считать синусоидальным (при оно становится вращательным).

Энергия системы равна и один из приближенных подходов связан с разложением энергии в ряд по степеням При этом необходимо принять во внимание изменение частоты (используя, например, метод Пуанкаре.[1]). Приведем здесь зависимость частоты от

Рассмотрим далее (в линейном приближении, когда тот же маятник, который теперь может двигаться в двух направлениях. Задавая снова эквивалентную упругую постоянную и пользуясь для выражениями (1) или (8),

получаем уравнения движения в виде

Первое из них совпадает с уравнением (2), равно как и второе, если заменить у на

Теперь имеются две зависимые переменные, которые представляют собой компоненты некоторого вектора в двумерном евклидовом пространстве. Эти уравнения не связаны в том смысле, что не входит в первое из них, а у — во второе. Это означает, что уравнения могут быть решены независимо, причем каждое описывает линейный осциллятор. Такая система называется вырожденной, так как частоты двух линейных осцилляторов совпадают. Другими словами, возможны два независимых типа движения с равными частотами.

Здесь мы впервые сталкиваемся с явлением поляризации. Колебание с поляризовано в направлении колебание с поляризовано в направлении у, а колебание с или поляризовано под углом 45° к обеим осям. Выражения

определяют колебание, поляризованное по кругу [тело описывает окружность в плоскости в направлении против часовой стрелки]. Аналогичное решение со сменой знака также соответствует колебанию, поляризованному по кругу, однако движение происходит по часовой стрелке.

Такие же результаты получаются для тела, изображенного на фиг. если допустить движение в плоскости и добавить еще одну пружину с той же упругой постоянной К, расположенную под прямым углом к первой.

Если уравнения маятника нелинейны, они, вообще говоря, становятся связанными. В качестве примера можаю указать уравнения, описывающие сферический маятник без предположения о линеаризации. В этом случае, как и для плоского маятника, частота колебаний зависит от амплитуды.