1. Динамические системы с сосредоточенными параметрами

В данном случае независимой переменной является только время Зависимые переменные обозначим через где индекс лежит в пределах число различных зависимых переменных. По предположению нам известна функция Лагранжа (лагранжиан) с размерностью энергии (здесь Пространство аргументов функции содержит переменных и называется расширенным пространством. Чтобы избежать путаницы, производные, взятые в этом пространстве, будем обозначать индексами, а для производных по на обычной временной оси будем использовать Кроме того, чтобы не писать везде знака суммирования, мы используем правило, что по повторяющимся индексам I подразумевается суммирование.

Согласно вариационному принципу, интеграл взятый между двумя фиксированными значениями времени, принимает

для истинного решения экстремальное (стационарное) значение относительно варьирования зависимых переменных. Вычисление вариаций приводит к уравнениям Эйлера:

Это и есть уравнения динамики дискретных систем. Гамильтониан определяют соотношением

где используется указанное выше правило суммирования по повторяющимся индексам. Пользуясь уравнением (1), получаем

Если лагранжиан не зависит явно от времени так что производная тождественно равна нулю, то систему называют стационарной. В этом случае величина константа решения. Рассматривая гамильтониан как полную энергию системы, получаем отсюда закон сохранения энергии.

Рассмотрим простой частный случай: нелинейный осциллятор с изменяющейся во времени упругостью. В этом случае имеется одна зависимая переменная заданы потенциальная энергия и возвращающая сила (для единичной массы) Лагранжиан имеет вид

и уравнение движения (1) записывается так:

Гамильтониан

не сохраняется, если