4. Пример — волны в плазме

В дальнейшем мы будем использовать простейшую модель бесстолкновительной плазмы, в которой проявляется парадокс Мортона (см. фиг. IX. 2). Это плазма, состоящая из электронов

и однократно заряженных ионов, которая считается совершенно холодной, т. е. хаотические движения отсутствуют. Тогда скорости ионов и электронов образуют обычные векторные поля — соответственно а сохранение числа частиц выражается уравнениями

где соответствующие плотности числа частиц, а

— конвективные производные, соответствующие системе отсчета, связанной с движущимся элементом среды. В холодной плазме отсутствует гидродинамическое давление; тогда закон сохранения импульса дается уравнениями

где соответственно массы и заряды частиц.

Предположим также, что плазма нейтральна, т. е. (это может выполняться для нерелятивистских движений) Кроме того, ограничимся рассмотрением плоских волн, в которых все физические величины зависят от времени и только от одной пространственной координаты Тогда, если плотность числа частиц не постоянна в пространстве, любое различие -компонент скоростей электронов и ионов должно вести к разделению зарядов, что исключено предположением о нейтральности плазмы (так как разность — должна исчезать на релятивистской шкале времени вместе с Следовательно,

где общая для электронов и ионов -компонента скорости. Поэтому любая разность скоростей

должна быть перпендикулярна направлению оси эта разность порождает ток

Удобно переписать закон сохранения импульса в переменных и средней массовой скорости

что приводит к уравнениям

Первая компонента уравнения для определяет «поле разделения зарядов» поскольку, как мы уже видели, из зарядовой нейтральности следует, что за 0. Кроме того, уравнение Максвелла показывает, что для плоских волн не зависит от

Нас интересуют такие решения приведенных выше уравнений и уравнений Максвелла, которые описывают переход плазмы Из одного равновесного состояния в другое, отличное от первого. Поэтому без потери общности можно выбрать такую систему координат, в которой плазма покоится (т. е. при Здесь достаточно рассмотреть простейший случай нормальной, поперечной ударной волны; соответствующие результаты для общего случая приведены Олсоном в работе [9]. Термин «нормальная» здесь означает, что волна распространяется в направлении нормали к плоскости постоянной фазы. Следовательно, мы рассматриваем только такие решения, которые стремятся к стационарным во времени в системе отсчета, движущейся относительно неподвижной системы координат с постоянной скоростью в направлении возрастания . В этой системе отсчета состояние равновесия, находящееся впереди ударной волны, характеризуется значениями

Поскольку рассматривается такое решение, в котором ударный фронт переводит плазму из одного стационарного состояния в другое, то без потери общности полагаем

Поперечной мы называем ударную волну в том смысле, что магнитное поле в состоянии равновесия позади разрыва перпендикулярно направлению его распространения. В равновесии оно должно быть к тому же перпендикулярно электрическому полю. Будем считать направление этого магнитного поля

совпадающим с направлением оси ; тогда каждая из компонент стремится к нулю при Отсюда получаем, что величина тождественно равна нулю, так как она не зависит от Кроме того, из соображений симметрии следует, что в данном случае уравнения для импульсов и уравнения Максвелла

можно решать, полагая и Олсои [9] показал, что в предельном случае малой амплитуды этим свойством должно обладать любое решение.

Таким образом, у нас остались лишь одна компонента средней скорости и (в -направлении), лишь одна компонента магнитного поля В -направлении) и лишь одна компонента разности скоростей и (в -направлении). Если предположить, что разность скоростей дважды непрерывно дифференцируема, то из уравнения и уравнения для разности импульсов следует, что выражение удовлетворяет такому же уравнению сохранения, что и . В предположении о единственности решения отсюда получаем первый интеграл [1]

вместе с которым уравнения

и составляют основную систему уравнений. Граничные условия впереди ударной волны имеют вид (для всех

с заданными константами При этом константа должна быть определена таким образом, чтобы допускалось решение, сколь угодно близко приближающееся к стационарному и стремящееся к состоянию равновесия с при