Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Взаимодействия поверхностных гравитационных волнКак указывалось выше, для чисто гравитационных волн резонансные взаимодействия второго порядка отсутствуют. Возникает вопрос: возможны ли резонансные взаимодействия более высоких порядков? Для поверхностных волн нелинейные члены появляются в результате разложения в ряд Тейлора условий на свободной поверхности, а эти разложения содержат члены всех порядков. В символическом виде можно записать
Квадратичные члены приводят к суммам и разностям пар волновых чисел и частот, ни одна из которых не дает резонансного вклада. С другой стороны, кубичные члены приводят к функциям (вынуждающим силам), содержащим суммы и разности трех волновых чисел и частот, и если они совпадут с естественной парой волновое число — частота, соответствующей свободной поверхностной волне, то в этом порядке возможен резонанс.
Фиг. VII. 5. Диаграмма на плоскости частота — волновое число, иллюстрирующая резонансную четверку волновых чисел при взаимодействии поверхностных гравитационных волн. Другими словами, условия резонанса третьего порядка имеют вид
Слегка изменив изложенный выше графический метод, можно показать, что решения этой системы уравнений действительно существуют. На фиг. VII. 5 начало координат О выбрано так, что вектор, проведенный к любой точке на дисперсионной кривой, дает пару волновое число — частота для волн на свободной поверхности. Если мы выберем новое начало координат О, которое не лежит на этой кривой, и построим дисперсионные кривые (для всех знаков начала координат, то эти кривые пересекут первоначальную дисперсионную кривую в двух или более точках. Любой вектор, соединяющий это новое начало координат с новыми дисперсионными кривыми, также дает пару волновое число — частота для свободных поверхностных волн, и если мы соединим две указанные точки пересечения кривых с началами координат
Двумерная диаграмма на фиг. VII. 5 представляет собой в действительности сечение поверхности, аксиально-симметричной относительно оси
Фиг. VII. 6. Диаграмма взаимодействия на плоскости волновых чисел для поверхностных гравитационных волн. Любые две точки на одной и той же кривой (или на сопряженной паре кривых внутри «восьмерки» определяют четыре Если начало координат О движется вертикально, то проекция линий пересечения расширяется и приобретает форму «восьмерки», когда обе поверхности касаются в средней точке между Уравнения, описывающие взаимодействия в случае резонансов третьего порядка, более сложны, чем простые уравнения для резонансов второго порядка. Они могут быть найдены тем же самым способом и записаны в виде
Подобные уравнения были впервые получены Бенни [8]. Члены, стоящие справа, могут быть двух типов. Первые, входящие с матричными коэффициентами в (13) описывают перераспределение энергии между различными компонентами. Действительный коэффициент Уравнения (13) допускают ряд простых интегралов. Три из них таковы:
Так как плотность энергии моды есть Тем не менее отсутствие значительной вязкой диссипации создает заманчивую перспективу наблюдения подобных взаимодействий в лаборатории. Были выполнены две группы экспериментов, одна — Лонге-Хиггинсом и Смитом [10], другая — по методу Лонге-Хиггинса [11] — Мак-Голдриком и др. [12]. На фиг. VII. 7 показана самая удобная для эксперимента конфигурация волновых векторов, соответствующая петле-восьмерке на фиг. VII. 6. Волны с ортогональными волновыми векторами
Фиг. VII.7. Резонансная петля для триад взаимодействующих гравитационных волн на глубокой воде.
Фиг. VII. 8. План ванны, используемой для исследования взаямодействия поверхностных волн. Если частота основной волны такова, что Для такого процесса, в котором волновой вектор
Соответствующие алгебраические выкладки приведены в работе [12]. Из (15) сразу же следуют два независимых интеграла
Отсюда видно, что рост компоненты с волновым вектором В экспериментах время взаимодействия равнялось всего нескольким волновым периодам и было много меньше, чем указанное выше время
Так как
При этих условиях амплитуда третьей компоненты является линейной функцией времени, в течение которого происходит взаимодействие. В эксперименте амплитуда была пропорциональна расстоянию
где коэффициент взаимодействия Эти выражения определяют рост третьей волны в том случае, когда резонансные условия выполнены точно. Однако, как и для всех резонансных явлений, вблизи резонансной точки существует некоторая полоса волновых чисел, которые участвуют во взаимодействии. Ширина этой полосы уменьшается, т. е. резонанс становится более резким, по мере того, как возрастает расстояние взаимодействия. Для волновых чисел, близких (но не равных точно) к резонансному, мы имеем
где Некоторые результаты экспериментов приведены на последующих фигурах.
Фиг. Vll. 9. Спектр волн в вапне по измерениям Лонге-Хиггинса и Смита [10]. Квадраты коэффициентов Фурье показаны в виде функции числа На фиг. VII. 9 показан спектр волн в ванне для случая, когда отношение частот исходных волн соответствует резонансу. Две самые большие компоненты относятся, конечно, к исходным волнам. Однако следующей по величине является возрастающая резонансная в третьем порядке волна, образованная в результате взаимодействия двух исходных волн. Амплитуда этой компоненты больше, чем любой другой, получаемой в результате взаимодействий, несмотря на то что это эффект третьего порядка, а расстояние взаимодействия мало. На фиг. VII. 10 показаны результаты аналогичных измерений, проведенных Мак-Голдриком и др. Форма кривых около пиков близка к характеристикам используемых фильтров, а спектр волн соответствует линиям, показанным на диаграмме.
Фиг. VII. 10. Спектры волн в ванне, измеренные Мак-Голдриком и др. [12] в случае резонанса На На фиг. VII. 11 представлены результаты измерения амплитуды третьей компоненты по мере того, как отношение частот Эксперименты Лонге-Хиггинса и Смита [101 проводились при гораздо больших углах наклона волны, чем эксперименты, описанные в работе [12], и в них сдвиг резонансного отношения частот был значительно больше. На фиг. VII. 12 изображена зависимость нормированной амплитуды третьей компоненты от длины взаимодействия. Очевидно, что для обеих групп экспериментов амплитуда возрастает линейно, как и предсказывает теория, и наклон кривых, полученных из данных наблюдений, весьма близок к теоретическому. Вероятно, самое драматичное проявление взаимодействий такого типа для поверхностных волн состоит в неустойчивости волн Стокса, открытой Бенджаменом и Фейром [13]. Эти авторы обнаружили, что если классические волны Стокса подвергаются малому возмущению с близким к основной волне волновым числом, то амплитуда возмущения растет до тех пор, пока волна, вначале почти однородная, не превратится в ряд волновых групп. Этот эффект уже давно наблюдали в волновых ваннах, с ним была связана одна из трудностей при попытке получить установившуюся периодическую волну в длинной ванне. Достижение Бенджамена и Фейра состояло в демонстрации того факта, что это — подлинная гидродинамическая неустойчивости
Фиг. VII. 11. Амплитуда
Фиг. VII. 12. Рост амплитуды комбинационной волны а не следствие, как думали ранее, несовершенств экспериментальной техники. Это явление тесно связано с описанной выше неустойчивостью [4] при дополнительном обстоятельстве, что здесь важны эффекты амплитудной дисперсии. Такая неустойчивость может быть описана с помощью приведенных выше уравнений или другим методом (гл. V, разд. 7). Если амплитуды
Аналогично записывается уравнение для
то
Если, кроме того, имеет место малое отклонение от резонанса, соответствующего бесконечно малым волнам, которое может компенсировать изменения в дисперсионном соотношении, связанные с первым членом в (19) (амплитудную дисперсию), то справа появляется еще множитель
фазовые изменения в (20) полностью компенсируются и (20) сводится к (17). Можно записать эти результирующие уравнения через действительные амплитуды волн
Эти комбинированные эффекты расстройки от резонанса и амплитудной дисперсии являются существенными факторами, обусловливающими неустойчивость, найденную для волн Стокса Бенджаменом и Фейром. Как и в их анализе, связанная пара линейных уравнений для амплитуд возмущений
где
Фиг. VII. 13. Область волновых векторов, в которой волна Стокса с волновым числом к] неустойчива. Любой треугольник, вершина которого лежит ппутри петли-погьмерки, определяет пару волпоимх пекторов неустойчивых полп Эксперименты Бенджамена и Фейра относятся к одномерному случаю, в котором эта вершина лежит в направлении Чем круче исходная волна Стокса, тем быстрее развивается неустойчивость и шире диапазон волновых чисел, в котором она наблюдается. В опытах Бенджамена и Фейра волновые векторы возмущений были коллинеарны исходной волне; для этих возмущений существует полоса неустойчивости, лежащая по обе стороны от волнового вектора исходной волны. Ирония истории! В начале этого века между Рэлеем и Бернсайдом возник яростный спор относительно того, возможны ли в действительности установившиеся решения, представляющие поверхностную волну с конечной амплитудой. Наконец, в 1921 г. Леви-Чивита окончательно доказал существование таких решений (см. [15], стр. 420). И вот теперь оказалось, что они неустойчивы! ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|