ГЛАВА V. Волны с дисперсией и вариационные принципы
Джералд Б. Уизем
Волновые движения можно разделить на два основных класса. Первый из них называется «гиперболическим», поскольку он описывается уравнениями в частных производных гиперболического типа, а второй — «дисперсионным», так как в простейших случаях ему соответствует превращение локального возмущения в расплывающийся волновой пакет. Вообще говоря, волны с дисперсией не описываются гиперболическими уравнениями, и довольно сложно найти связь между математической структурой соответствующих уравнений и характерными свойствами этих волн. Рассматриваемые два класса волн не всегда имеют хорошо выраженную границу. У студентов иногда создается впечатление, что математическая теория гиперболических уравнений дает очень сложное описание волнового движения и охватывает все случаи, тогда как использование синусоидальных решений вида
с последующим суммированием фурье-компонент или без него представляет собой элементарный подход к решению того же вопроса. Возникновение недоразумения связано с тем, что простое волновое уравнение можно решить, используя оба подхода. Однако каждый из этих способов соответствует различным классам волнового движения. Кроме того, хотя с решением гиперболических уравнений связаны многие волновые задачи, по-видимому, можно утверждать, что они не составляют большинства. Так, в известном примере волн на воде (рассматриваемом в гл. IV) исходным является уравнение Лапласа с необычными граничными условиями на свободной поверхности.
Теория гиперболических уравнений с присущим ей исследованием характеристик, образования ударных волн в нелинейных задачах, слабых разрывов и т. п. хорошо разработана. Но даже для волн в линейных диспергирующих средах вопрос об общей форме уравнений и основных особенностях их решений оказывается гораздо более сложным. В случае нелинейных волн в диспергирующих средах такие вопросы почти не рассматривались. Однако за последние несколько лет степень изученности как линейных, так и нелинейных волн в диспергирующих средах значительно возросла. Это привело к частичной унификации различных точек зрения и методов вычислений. В настоящей главе дается обзор некоторых достижений в этой области и в первую очередь тех из них, которые способствовали такой унификации и возможному обобщению на нелинейные задачи. Новым элементом в математическом описании волн является применение вариационных принципов.
