5. Другие примеры одномерных волн
Кроме волновых движений, описываемых уравнением (27), существует много других видов одномерного волнового движения. Некоторые из них описываются уравнениями, близкими к (27). Другие обладают сильной дисперсией и описываются совершенно иными уравнениями.
5а. Одномерное волновое уравнение с затуханием
Волновое движение может быть затухающим, но во всех других отношениях подобным волнам, описываемым уравнением (27). Затухание (диссипацию) можно ввести несколькими способами. Простейший пример, аналогичный затухающему линейному осциллятору (6), описывается следующим уравнением:
Хотя это уравнение не позволяет получить непосредственно действительное дисперсионное соотношение, оно с помощью преобразования
приводится к виду
Из этого уравнения получается уже действительное дисперсионное соотношение
На первый взгляд это соотношение имеет несколько аномалий. Одна из них заключается в обрезании волнового числа снизу при значении 
ниже которого решение не осциллирует во времени и волны не распространяются. Другая аномалия состоит в том, что формально определенная групповая скорость равна 
т. е. величине, большей чем а. Принципиальный вывод, который отсюда следует, состоит в том, что если не выполняется условие 
то волна распространяется с сильным затуханием и понятие групповой скорости теряет смысл (см. гл. II, п. 5).
Если же 
то диссипация слаба, и членами 
в (64) можно пренебречь. Тогда свойства волны, в сущности, те же, что и у соответствующей недиссипативной системы (27), за исключением экспоненциального затухания. Это затухание определяется множителем для зависимой переменной у и множителем 
для энергии.
5б. Акустические волны в трубах переменного сечения
Рассмотрим теперь линеаризованные уравнения для волн в трубах с постоянными 
но с меняющейся функцией 
. В качестве исходного используем уравнение (52), однако запишем его для потенциала скорости Ф:
Преобразование
приводит к уравнению
где
Уравнение (67) имеет решения в виде плоских гармонических волн и соответствующее ему дисперсионное соотношение только в случае, если функция 
либо постоянна, либо приближенно может считаться постоянной.
Представляет интерес специальный случай, в котором функция 
тождественно равна нулю, 
этом случае сечение трубы А пропорционально квадрату линейной функции от 
выберем в качестве этой функции просто 
т. е. положим
Этот случай соответствует волнам в трехмерном пространстве со сферической симметрией относительно некоторой точки. Такое движение вследствие его сферической симметрии ведет себя локально так, как если бы оно было возбуждено в конусе, охватывающем сколь угодно малый телесный угол с вершиной в центральной точке. Площадь поперечного сечения такого конуса равна телесному углу, умноженному на 
где 
радиальная координата в сферической системе координат. Наша координата 
и является этой радиальной координатой.
Так как уравнение (67) при 
совпадает с уравнением (27), то его общее решение известно. Следовательно, общее решение уравнения (66) можно записать в виде
За исключением указанных случаев, когда В либо равна нулю, либо постоянна, простое волновое решение можно получить только, если член с В пренебрежимо мал. Будем искать решение в виде бегущей волны, полагая
Тогда из уравнения (67) следует «бездисперсионное» дисперсионное уравнение
Здесь применимо общее решение (28), однако с тем ограничением, что волновые числа в спектре Фурье функций 
удовлетворяют условию (68). При этом предположении приближенное решение имеет вид
Это приближение является типичным представителем целого семейства приближений, часто используемых в задачах о распространении волн и основанных на предположении, что рассматриваемые волновые числа достаточно велики, т. е. что длины волн достаточно малы. Приближение Лиувилля — Грина (см. гл. 4 в [3], а также [4]), часто ошибочно называемое приближением ВКБ, принадлежит к этому семейству и приводит в волновых задачах к известным приближениям геометрической оптики и геометрической акустики.
