5а. Линейные задачи

В любой линейной задаче лагранжиан должен быть квадратичным по ее производным. Периодическое решение можно представить в виде

Следовательно, если подставить решение (65) в выражение (60), то усредненный лагранжиан должен быть пропорционален

При этом уравнение (62) принимает вид

Отсюда, не входя в подробности вычислений, мы видим, что функция в (66) должна быть той же самой, что и в линейном дисперсионном соотношении. Интересно отметить, что для стационарной волны . В тех случаях, когда лагранжиан равен разности между кинетической и потенциальной энергиями, последнее равенство указывает на то, что эти энергии равны друг другу. Ясно также, что при подстановке периодической функции (65) в лагранжиан нельзя использовать дисперсионное соотношение. Это дало бы т. е. сразу экстремальное значение, и мы не имели бы достаточной свободы в применении вариационных принципов.

Уравнение для амплитуды (63) принимает вид

Если решение уравнения (67) записывается Как то и

Следовательно, групповую скорость С можно представить через производные следующим образом:

Таким образом, уравнение (68) принимает вид

В этом уравнении можно исключить множитель поскольку его можно представить в виде

В соответствии с уравнением (64) последний член равен нулю, так что мы имеем

Мы получили общий вывод уравнения (42). К интерпретации уравнения (63) и его связи с уравнением сохранения энергии мы вернемся позже после обсуждения нелинейного случая.