6б. Мембранный волновод

В качестве следующего примера рассмотрим мембрану. Если однородное и изотропное поверхностное натяжение мембраны, ее поверхностная плотность, то характеристическая скорость а определяется выражением Если отклонение мембраны, то оно описывается уравнением

Аналогия мембраны с натянутой струной прослеживается в случае, если рассмотреть решение, в котором не зависит от у. С точки зрения физики здесь возникает задача о поведении бесконечной ленты шириной с граничными условиями на линиях

Метод разделения переменных приводит к решениям, синусоидальным по у. Соответствующее решение, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид

где целое положительное число. Эти решения представляют собой нормальные моды, порядок моды. Определим частоту отсечки для моды следующим образом:

Подставляя решение в уравнение мембраны, получаем дисперсионное соотношение

Мы уже упоминали о таком дисперсионном соотношении [выражение (25)] и обсуждали некоторые связанные с ним особенности. Групповая скорость С всегда меньше, чем а, и лишь стремится к а, когда Волны не распространяются, если Если граничные условия заменить на то появляются те же частоты и вдобавок бездисперсионная мода, соответствующая

Такое поведение волн характерно для волноводных задач, включая задачи об электромагнитных волноводах. В электромагнитном случае модовая структура более сложна, но каждая мода в отдельности дает дисперсионное соотношение вида (25). Мембранный волновод представляет собой простейшую модель для изучения волн такого типа. Единственная черта более общих волноводов, которая не встречается в данном примере, — это возможность вырождения мод.