2. Метод нахождения точного решения

Цель прикладной математики состоит в определении точного решения задачи, выраженной в виде некоторой системы уравнений. Обычно мы, однако, остаемся далеки от этой цели и довольствуемся выяснением общих свойств уравнений и их решением с помощью приближенных и качественных методов. Тем не менее этой цели удается достигнуть для частного класса решений уравнения КДВ с помощью точной линеаризации задачи при начальных условиях где достаточно быстро стремится к нулю при

2а. Роль уравнения Шредингера

Ключ к методу решения дает преобразование (7)

которое представляет собой уравнение Рикатти для о, если предположить, что и — известная функция. Для уравнения Рикатти существует стандартное линеаризующее преобразование

после которого (7) принимает вид

Это уже почти известный вид стационарного одномерного уравнения Шредингера, используемого в квантовой механике. Однако в нем еще отсутствует основной элемент — энергетические

уровни (собственные значения). Как отмечалось выше, уравнение КДВ инвариантно по отношению к преобразованию Галилея, поэтому и можно сдвинуть на константу, а производные по при этом не изменятся. Отсюда

где волновая функция, и — потенциал, а соответствует энергетическому уровню. Заметим, что потенциал зависит от и параметра (не путать с обычной временной переменной в нестационарном уравнении Шредингера). Конечно, зависимость и от по-прежнему описывается уравнением КДВ.

Обычная задача квантовой механики состоит в определении волновых функций и энергетических уровней для заданного потенциала и. Здесь же целью является определение и, а не и . В квантовой механике это называется «обратной задачей рассеяния».