6. Волны с сильной дисперсией

Линейные волны, которые рассматривались ранее, описывались либо простым волновым уравнением (27), либо уравнением, отличающимся от него только наличием членов с производными более низкого порядка. Во всех этих случаях существует характерная скорость а, которая и является действительной скоростью распространения, по крайней мере в некотором предельном случае. Существуют, однако, различные типы волн с сильной дисперсией, удовлетворяющие уравнениям, совершенно отличным от (27). Вероятно, наиболее широко изученные примером являются волны на глубокой воде. Они даже не могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных относительно переменных Займемся рассмотрением некоторых других примеров таких волн.

6а. Балка на упругой опоре

Рассмотрим бесконечную балку с погонной плотностью и жесткостью на изгиб упруго поддерживаемую сбоку распределенной пружиной с упругой постоянной на единицу длины, равной К. Предположим, что балка находится под действием продольной сжимающей нагрузки Эта нагрузка стремится согнуть балку (см. фиг. 1.6).

Обозначим через поперечное смещение балки. Поперечное ускорение у», умноженное на массу участка балки, равно поперечной силе, действующей на этот участок. Эта поперечная сила (на единицу длины) состоит из трех компонент. Одна из них, равная создается упругой опорой. Другая, похожая на ту, которая встречалась в теории натянутой струны (конечно, с обратным знаком), равна .

Фиг. 1.6. Балка на упругой опоре.

Третья может быть получена из стандартной теории балок и равна Комбинируя, получаем дифференциальное уравнение

и связанное с ним дисперсионное соотношение

Отметим сначала частные случаи, в которых существует только одна возвращающая сила. Если то частота постоянна и равна величине входящей в выражение (1) для линейного осциллятора; при этом волны не распространяются. Если а величина отрицательна, то получаются уравнения (27) и (46) для натянутой струны с Если, наконец, то получаются волны в простой ненагруженной балке. Они характеризуются соотношением

Если достаточно велико, то величина может оказаться отрицательной на некотором интервале значений Чтобы этого не случилось, необходимо выполнение следующего условия:

С его учетом дисперсионное соотношение изображается кривой, показанной на фиг. Волны не распространяются при где Другая точка, в которой распространение отсутствует (групповая скорость равна нулю), расположена при

Для групповая скорость имеет знак, противоположный знаку фазовой скорости. Для существуют две моды с положительной фазовой скоростью: одна с положительной, а другая с отрицательной групповой скоростью. Для заданной положительной достаточно малой групповой скорости

Фиг. 1.7. Дисперсионное соотношение для волн в балке.

существуют три возможные моды: одна с положительной и две с отрицательной фазовой скоростью.

Если неравенство (69) не выполняется, то бесконечно длинная балка будет неограниченно прогибаться. Если балка (которую теперь правильнее считать колонной) конечна и удовлетворяет граничным условиям при то такой неограниченный прогиб происходит, когда при для некоторого целого Может случиться, что данная балка или колонна устойчива по отношению к прогибу, в то время как несколько более короткая колонна будет неустойчива. Таким образом, в этой задаче дисперсионное соотношение содержит не только информацию о распространении волны, но также информацию об устойчивости по отношению к упругому изгибу.