6. Масштабные условия

Приведенная выше довольно длинная интерпретация преобразования растяжения (6) не так уж далеко продвигает нас в нужном направлении. Однако, прежде чем идти дальше, необходимо обсудить цель нашего анализа более подробно. Это можно сделать, обратившись к известному методу внутренних и внешних разложений, или методу «растяжения и сшивания», использующему частный вид преобразования растяжения, который затем обосновывается применением сшивания. К сожалению, в действительности такое обоснование редко возможно в нетривиальных задачах, так как оно потребовало бы сшивания во всех порядках приближения, вплоть до доказательства существования решения. В задачах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, проблема сшивания оказывается слишком сложной даже в третьем порядке, и, следовательно, программа обоснования предложенного растяжения сшиванием обычно нереальна.

В связи с этим некоторый интерес представляют методы, в которых растяжение можно определить независимо от сшивания. Такие методы можно применять также к приближениям многих масштабов, использующим растяжение без сшивания. Они особенно интересны в случаях, подобных нашему, когда правдоподобное на первый взгляд преобразование растяжения, подсказываемое нашим предшествующим опытом, ведет к результатам, которые также выглядят правдоподобными, но на самом деле некорректны.

Основная цель этого раздела — изложить метод, с помощью которого преобразование растяжения для данной задачи можно определить однозначно, независимо от условий сшивания.

В таком доказательстве единственности можно избежать некоторых серьезных препятствий, часто затрудняющих доказательство существования и асимптотического поведения решения, и в результате разработать полезный асимптотический метод, дополняющий метод «растяжения и сшивания» и приближение многих масштабов. Пересмотр большого числа предельных процессов, неявно присутствующий в таком доказательстве единственности, также согласуется с задачей определения предельного приближения в методе двойных асимптотик (см. разд. 3).

Осуществление такой цели требует использования гибкого преобразования растяжения, имеющего весьма общее значение, и это делает целесообразной тщательную проверку как общности преобразования (6), так и связанных с ним ограничений. Следующий вопрос, однако, касается принципов, на которых может быть основано единственное определение преобразования растяжения (6). Здесь мы предположим, что эти принципы выражают лишь немногим больше, чем то, что с некоторой точностью обозначают терминами «растяжение», «упорядочение» или «физическое преобразование масштаба».

Основная цель растяжения — дать «увеличительное» (или, наоборот, уменьшительное) стекло, выбранное как раз так, чтобы снять вырождение предела для решения данной физической задачи. Например, в случае ударных волн в плазме нет оснований ожидать, что размерное магнитное поле имеет какой-либо предел при Однако в физике широко используется предположение, что — если строго не доказано обратное — можно найти такие единицы измерения (возможно, зависящие от ), что измеряемое в них возмущение магнитного поля имеет определенный предел.

В связи с этим понятно, что слово «предел» содержит здесь нечто большее, чем ограниченность величины Некоторая физическая величина, например магнитное поле, даже при конечной амплитуде может вырождаться в том смысле, что его частота неограниченно растет. Вот почему «увеличительное стекло» применяют к единицам времени и длины так же, как и к любым другим единицам физических величин. Короче говоря, идея состоит в том, что, хотя предел исходного магнитного поля может быть совершенно вырожденным, можно найти такие единицы, в которых пределом будет обычная достаточно гладкая функция.

Одним из способов формулировки этой идеи в случае плазмы является введение множества

где обозначает множество всех значений противоположность множеству всех Иными словами, эти функции имеют предел в и пределы их производных совпадают с производными пределов. Тогда первое из трех масштабных условий, которые нужно принять для определения преобразований растяжения (6), можно записать следующим образом:

Следует заметить, что условие просто сводится к выбору нормы, в которой, как мы предположим, существует предел малой амплитуды. Это далеко не единственно возможный выбор. Однако преобразование растяжения — это аппарат, позволяющий уменьшить потребность в использовании слабых решений, поэтому естественно начать исследование физики явления в рамках строгих решений. Но попытка интерпретировать основные уравнения буквально, а не символически автоматически определяет соответствующую норму: так как система первого порядка, то строгое решение — это то же самое, что любое решение в В действительности при выводе уравнения (1) (см. разд. 4) использовалось допущение о вторых производных, а множество было заменено на в работе [5] ради экономии усилий, но пока без какого-либо указания на существенную потерю общности.

Более важно то обстоятельство, что в не представляет собой по отношению к уравнениям (1) — (4) конкретный класс функций, соответствующий конкретной норме, а определяется выбором из большого множества преобразований растяжения (6). Мы не предполагаем, что основные уравнения (1) — (4) имеют строгое решение в любом пределе нулевой амплитуды. Условие постулирует только, что имеется некоторый предел нулевой амплитуды, в котором вырождение решения системы (1) — (4) снимается с помощью некоторого преобразования растяжения. Это и есть основная предпосылка анализа, проводимого в данной главе.

Масштабное условие можно назвать условием регулярности, так как оно гарантирует преобразование растяжения, достаточное для устранения любого вырождения предела в рамках уже обсуждавшихся ограничений на вид преобразований (6). Оно должно быть дополнено некоторым «условием нетривиальности», позволяющим избежать чрезмерного растяжения. Например, сколь бы сингулярным ни становилось при всегда возможно выбрать масштаб в (6) столь большим, что вместе с для всех Такой выбор, очевидно, нам не нужен. Чтобы исключить его для задачи с

плазмой, следует потребовать, чтобы

Здесь понятие тривиальной функции означает, что при на любом открытом ограниченном множестве

Тот факт, что содержит условия на производные, не является неожиданным, так как «перерастяжение» независимых переменных выражалось бы в потере всех вариаций зависимых переменных. Менее очевидно то, что в не содержится никаких условий на производные по но фактически они включены в другие условия такого рода и в условие на границе (5). С другой стороны, в отсутствие явных начальных условий едва ли можно добиться единственности преобразования растяжения без каких-либо условий на производные по времени. Это уклончивое определение тривиальности предназначено для того, чтобы избежать неопределенностей, возникающих из любых независимых пределов, которые могут встретиться в дальнейшем. Например, основное граничное условие (5) в том виде, как оно записано, в высшей степени неоднозначно, так как оно содержит такой предел. Поскольку по определению — надлежащим образом выбранная пространственная переменная для головной части волны, преобразование (6) позволяет дать более ясную формулировку для (5):

(однородно по ).

Хотя масштабные условия и дают в общем полную характеристику метода масштабного преобразования (растяжения), они не всегда достаточны, чтобы определить это преобразование, поскольку растяжение само по себе обычно ведет к потере каких-либо граничных условий. Когда граничное условие на хвосте ударной волны удается последовательно применить на масштабе так что головная часть волны фактически может охватывать весь ударный переход, граничные условия следует взять в виде

Если, однако, такое граничное условие применять нельзя, то для единственности необходимо добавить к и условие, гарантирующее, что головная часть ударной волны является частью, и притом существенной, большего переходного процесса. Соответствующее условие имеет вид [5] остается ограниченным при для всех