2. Сохранение действия для семейства решений

Рассмотрим семейство решений характеризуемое действительным параметром Будем считать решение периодичным по параметру полагая период равным т. е.

Определим действие А, связанное с этим семейством решений, формулой

где черта сверху обозначает усреднение по периоду тем же соглашением о суммировании.) Величина А — это функционал выбранного нами семейства решений, который для этого семейства является функцией времени

Прямое вычисление с учетом (1) приводит к равенству

Таким образом, действие оказывается постоянным и представляет собой точный инвариант, связанный с данным семейством решений. Оно имеет размерность энергии, умноженной на время (и деленной на размерность если таковая имеется).

Полученный результат в его настоящем виде мало что дает, поскольку он не содержит никакой информации о конкретных решениях. Только сумев поставить в соответствие интересующему нас отдельному решению некоторое семейство решений, мы сможем применить этот общий результат к исследованию отдельных решений.