5. Сплошные среды

В сплошной среде динамические колебания существуют в виде волн. Как и в рассмотренном выше дискретном случае, среда предполагается консервативной в том смысле, что

динамические уравнения можно получить из вариационного принципа. Независимыми переменными теперь являются время и вектор пространственных координат Зависимые переменные обозначаются так же, как и прежде, но имеют функциональную зависимость вида Первыми производными функции в физическом пространстве ее определения являются и компоненты градиента

Нам снова нужно определить плотность лагранжиана Производные в физическом пространстве, как и выше, обозначаются операторами в отличие от производных в расширенном пространстве аргументов обозначаемых индексами. Вариационный принцип требует, чтобы интеграл был стационарным для истинного решения краткое обозначение для Вычисление вариаций дает уравнений Эйлера, аналогичных (1):

Эти дифференциальные уравнения в частных производных и служат динамическими уравнениями для сплошной среды. Заметим, что векторная величина, и ее компонента равна

Пользуясь (2), можно определить плотность гамильтониана. Она подчиняется уравнению, аналогичному (3):

где используется, конечно, обычное правило суммирования. Если не зависит явно от времени (стационарная система), то уравнение (22) принимает форму, которую в континуальных теориях называют уравнением (законом) сохранения. Согласно таким уравнениям, сумма производной по времени от какой-либо «плотности» и дивергенции вектора «потока» равна нулю. Вектор нужнопонимать как поток гамильтониана. Причина названия «уравнение сохранения» обсуждается далее в связи с понятием плотности действия.

Анализ, приведенный в разд. 2, можно непосредственно обобщить на сплошные среды. Рассмотрим семейство решений зависящее от параметра и периодическое по с периодом Плотность действии определяется соотношением (8) (конечно, теперь А зависит и от Поток действия определяется выражением

Аналогом уравнения (9) является

Полное действие в любой момент времени дается интегралом от плотности действия по всей области, где поле отлично от нуля. Предполагается, что в каждый данный момент времени этот интеграл сходится, так что полное действие можно корректно определить. Предположим далее, что границы области фиксированы (неподвижны) и что на них для каждого значения индекса либо либо где единичный вектор, нормальный границе. Если рассмотренная область бесконечна, то предполагается, что при решение достаточно быстро стремится к нулю. Вычисляя производную по времени от интеграла действия и пользуясь уравнением (24) и теоремой о дивергенции (и, если область бесконечна, делая соответствующий предельный переход), получаем

Таким образом, полное действие сохраняется. Этот вывод, основанный на «дивергентной форме» уравнения (24), оправдывает название «уравнение сохранения» для уравнений такого вида.