3г. Достаточные условия неустойчивости
Пусть В — коэффициент при
в уравнении (64),
минимум,
максимум функции
в интервале
причем
Для удобства изложения мы сформулируем три условия, или предположения, часть из которых или все встретятся ниже.
а)
- непрерывные и аналитические функции,
и в любой точке, где
обращается в нуль, также обращается в нуль
Заметим, что если выполняется предположение
то функция
должна обращаться в нуль там, где обращается в нуль
поскольку не может возрастать с ростом
из-за неравенства
Кроме того, в случае выполнения условия
уравнение (64) не имеет особенностей, если
и можно применять теорию Штурма — Лиувилля. С помощью этой теории нетрудно получить следующие две теоремы [2]:
Теорема 3. Если выполняются предположения
то имеется по крайней мере
мод, для которых
а а возрастают с номером
Для
моды имеется по крайней мере
внутренних нулей собственной функции
Теорема 4. Если выполняются предположения
то имеется точно
мод с с
возрастающими с номером
Для
моды имеется точно
внутренних нулей собственной функции.
С помощью аргументов, аналогичных использованным Лином [24], можно показать, что если немного отклонить а от любого из значений
упомянутых в теоремах 3 и 4, то с становится комплексным. Тогда мы имеем следующую теорему:
Теорема 5. Вблизи нейтральных мод, предусмотренных теоремой 3, имеются смежные неустойчивые моды. Другими словами, если выполняются условия
течение неустойчиво.
Между прочим, теоремы 3 и 4 объясняют, почему граница устойчивости на плоскости
может быть многозначной по а при одном и том же значении
как это было найдено Майлсом [25].