4. Сохранение действия для систем с медленно меняющимися параметрами

Вывод о сохранении действия А для колебательных решений систем со строго постоянными параметрами, конечно, тривиален. Достаточно медленное изменение параметров системы во времени можно учесть, заменяя в лагранжиане точную зависимость от на зависимость от медленного времени определяемого формулой

где малый параметр. При очень малых система приближенно ведет себя как стационарная, а можно рассматривать как постоянный независимый параметр.

Приближенное квазипериодическое решение можно искать в виде, обобщающем (15)

где а для вместо имеем

Тогда параметр фазового сдвига в (19) дает требуемое для определения действия А семейство решений. Основной результат (9) означает, что или Теперь это дает нетривиальный закон сохранения действия для колебаний в нашей системе с медленно меняющимися параметрами. В примере с нелинейным осциллятором, упругость которого медленно меняется во времени, это означает, что интенсивность колебаний (измеряемая величиной или фмакс) непрерывно изменяется таким образом, что величина А остается постоянной.

Это обезоруживающе простое и прямое рассуждение чревато, однако, и определенными «ловушками». Оно очевидно непригодно, если нарушаются условия существования или однозначности решения или возникают особенности в решении при некотором значении Здесь мы просто должны предположить, что ничего этого нет, что периодические решения вида (18) существуют при всяком значении рассматриваемом как фиксированный параметр, и могут быть отнесены к одной и той же моде. Мы предполагаем также, что приближенные решения вида (18) действительно существуют, если медленно изменяется.

Более тонкие вопросы относятся к характеру сделанных приближений. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим систему, которая при стационарна и для нее известно однопараметрическое семейство точных периодических решений, рассмотренное в разд. 3. Начиная с момента параметры системы медленно меняются, а в момент система снова становится стационарной. В переходных точках поведение функций, описывающих систему, не будет аналитическим, однако мы предполагаем, что эта неаналитичность достаточно слабая. При величина определяемая согласно разд. 2, равна своему первоначальному значению, так как она является точным инвариантом.

Приближенный характер этого результата заключается в том, что при семейство решений, задаваемое первоначальным параметром фазового сдвига, более не выражается формулами (15) или (18). В примере с нелинейным осциллятором (4), (5) каждое решение семейства может быть периодическим и ему, согласно разд. 3, можно поставить в соответствие действие и частоту Однако при этом в общем случае не будут строго постоянными. Абсолютный инвариант А, определенный для семейства решений, — это в определенном смысле среднее от по

В системе с большим числом степеней свободы появляется другая трудность. Решение, строго периодическое при может быть вообще не периодично при или периодично, но с периодом, много большим того, который соответствует функции . В линейных системах это можно описать как по

явление другой нормальной моды («перемешивание» мод). Этим же термином мы будем пользоваться для аналогичного явления и в общем нелинейном случае. Решение можно рассматривать как сумму периодического решения и некоторого малого возмущения.

Ошибки обоих этих типов будут малы, если малая величина. В пределе когда параметры системы изменяются бесконечно медленно, эти погрешности исчезают. Таким образом, выводы о сохранении периодичности решения и об инвариантности действия А, определенного для данного семейства решений, — это результаты асимптотические, поэтому соответствующее действие А называют адиабатическим инвариантом. Конкретный вид зависимости ошибки от величины связан с характером неаналитичности при Подобные ошибки ограничивают наши возможности рассматривать решение как периодическое колебание.

Альтернативным подходом, не требующим введения понятия действия, является использование гамильтониана усредненного по фазе, вместо А в качестве меры интенсивности колебаний. Уравнение (3) можно усреднить по фазе, заменив производную на Тогда получим

Выражая правую часть как функцию из дифференциального уравнения (20) можно найти Однако эта процедура по некоторым причинам менее убедительна, чем использование действия. Действительно, величина менее фундаментальна, чем А. Все асимптотические ошибки, возникающие при использовании величины А, появляются и для . В общем случае процедура с использованием не опирается на фундаментальный закон сохранения. Наконец, интегрирование дифференциального уравнения (9) для А сразу дает

Вообще же, какой бы метод ни использовался, сущность его применения к системам с медленно меняющимися параметрами заключается в возможности усреднять по фазе. В этих случаях решение (за исключением самой фазы) должно вести себя в известном смысле независимо от фазы, которая не должна влиять на результат. Погрешности в таких результатах и являются прямой мерой того влияния, которое фазовые соотношения оказывают на решение.