5. Диссипативные эффекты

В реальной физической системе определенная часть энергии вегда поглощается. Поэтому для того, чтобы теория волн в консервативных системах с дисперсией имела серьезное применение, ее результаты должны быть близки к реальности в случае, когда потери энергии достаточно малы. Как правило, для линейной системы с линейным механизмом потерь это действительно так. Рассмотрим в качестве иллюстрации известный случай вязкого затухания, при котором сила трения пропорциональна скорости материальной частицы. В этом случае линейное уравнение Клейна — Гордона (3) для волн в струне с упругой связью принимает вид

если движение струны затухает из-за трения о воздух. Параметр безразмерный коэффициент затухания. Подстановка

приводит уравнение (45) к

Последнее представляет собой обычное уравнение Клейна — Гордона для струны, но упругая постоянная теперь зависит от Ясно, что при решения для могут быть найдены с помощью изложенной выше теории волн с дисперсией, причем групповая скорость определяется выражением

Очевидно, что полное решение для состоит из экспоненциально затухающих групп волн. Заметим далее, что, когда групповая скорость с точностью до членов порядка равна своему значению в системе без затухания, а полное решение отличается от решения для такой системы множителем . С другой стороны, при групповая скорость либо мнима, либо превышает единицу, которой равна реальная скорость волнового фронта, как можно видеть из уравнения (45). Следовательно, в этом случае теория консервативных волн неприменима. Любопытен случай когда получаются волны без дисперсии.

описываемые волновым уравнением и экспоненциально убывающие по величине.

Другой подход к определению групповой скорости для уравнения (45) состоит в том, чтобы представить решение в виде

Подстановка его в (45) дает

или

Тогда соответствующее выражение для групповой скорости имеет вид

и представляет собой действительную величину. Однако, когда групповая скорость вновь превышает единичную скорость фронта волны (для подходящих значений

На основании этих расчетов невозможно понять, какую роль играет групповая скорость в случае, когда если она вообще играет какую-нибудь роль в этом случае. Для выяснения этого вопроса удобно взять частное значение Используя метод преобразования Лапласа, решим уравнение (45) для полубесконечной струны с граничным условием

т. е. при синусоидальном входном воздействии с частотой Нетрудно показать непосредственно, что решение может быть выражено через обратное преобразование Лапласа

откуда после замены получаем при

На фиг. II. 5 представлена соответствующая ситуация на комплексной -плоскости. При седла для экспоненты, стоящей под интегралом, находятся в точках

Фиг. II. 5. Контур интегрирования при решении уравнения Клейна — Гордона с диссипацией (45) методом преобразования Лапласа.

(Заметим, что для получаем это следует из тех же соображений, что и в Поэтому определяет положение фронта волны.) Правильный контур наискорейшего спуска проходит через точку и представляет собой эллипс

где

Если этот эллипс охватывает полюс, находящийся при то при переходе от контура вычет в этом полюсе вклада в интеграл не вносит. Вклад же седловой точки оказывается экспоненциально малым, порядка Это можно показать, если взять главный член в разложении экспоненты, входящий в (47), в окрестности точки Отклик представляет собой нестационарный предвестник главного сигнала, но, поскольку он не состоит из периодических волн, в действительности его нельзя описать с помощью групповой скорости.

С другой стороны, когда полюс лежит вне эллипса, мы получаем стационарный сигнал, который определяется вычетом

Поэтому можно принять за скорость сигнала значение, получаемое для в случае, когда полюс точно попадает на эллипс, т. е. когда в (48) подставлены значения . В результате получается выражение

которое меньше скорости фронта волны для всех значений Более того, оно не совпадает с выражением для групповой скорости (466), в котором значение взято из (46а).

Как уже указывалось в гл. I, п. 5а, основной вывод, который здесь должен быть сделан, заключается в том, что если диссипация не мала, то понятие групповой скорости теряет смысл.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)