Предисловие редакторов американского издания

Существование «волн» как одной из форм, в которой проявляется движение, принадлежит к наиболее привычным свойствам физического мира; их описание дает нам одну из нитей, связывающих воедино различные разделы физики. Однако в математической теории волн до сих пор имеются серьезные пробелы. Только волны, описываемые (как правило, приближенно) линейными или гиперболическими квазилинейными дифференциальными уравнениями, исследованы, пожалуй, достаточно хорошо.

В последние годы мы были свидетелями быстрого и далеко идущего развития теории нелинейных волн. Стремясь ознакомить с успехами в этой области выпускников и преподавателей высших учебных заведений инженерных и физических специальностей, редакторы настоящего сборника организовали в 1969 г. (при поддержке Центра прикладной математики и Технического колледжа) специальную серию семинаров, посвященных вопросам распространения нелинейных волн. Эти семинары, на которых заслушивались вступительные сообщения преподавателей Корнеллского университета и лекции крупных физиков и математиков из других университетов, легли в основу данной книги. Она состоит из разделов, написанных лекторами, а также некоторыми другими учеными, приглашенными участвовать в издании.

Имеются все основания полагать, что издание трудов упомянутых семинаров будет иметь значительную ценность. В литературе отсутствует последовательное изложение этого предмета, хотя сейчас, несомненно, имеется более чем достаточно аргументов за то, чтобы собрать соответствующие идеи воедино. В этой книге сведены вместе фундаментальные идеи, которые лежали в основе недавних работ и, вероятно, еще будут определять плодотворные направления предстоящих исследований.

Поскольку целью семинаров было получение реального учебного результата, мы пытались сделать лекции доступными для выпускников, начинающих работать в инженерных областях науки. Мы стремились к ясному и педагогически обоснованному

изложению предмета и, хотелось бы думать, добились этого. Такой же подход требовался от авторов данной книги.

Общепринятой классификации нелинейных волн пока не существует. Однако можно провести грубое разделение на недисперсионные процессы (которые чаще всего описываются квазилинейными гиперболическими уравнениями в частных производных) и дисперсионные процессы. Большинство достижений последнего времени относится к волнам с дисперсией.

Значительная часть новейших исследований может быть разделена (правда, с известной долей произвола) на два класса. Первый класс задач связан с применением специфических для данных задач схем возмущений или методов усреднения с целью построения равномерно пригодных решений; при этом требуется, например, либо скорректировать решение линеаризованной задачи так, чтобы учесть накапливающееся влияние слабых нелинейностей, либо модифицировать нелинейное решение с учетом малых отклонений от периодичности, либо описать модуляцию какого-то другого типа. Во второй группе задач исследуются точные решения модельных уравнений, которые появляются обычно в результате приближенного описания более сложных систем.

Перечислим вкратце основные вопросы, рассматриваемые в отдельных главах. Вводная глава, написанная Уоллесом Хейесом, иллюстрирует большую часть понятий, используемых в дальнейшем. Подробному рассмотрению двух упомянутых выше новых классов задач предпослано тщательное обсуждение теории линейных волн с дисперсией (Стефен Тау, гл. II) и теории квазилинейных систем гиперболического типа (Константин Дафермос, гл. III). Следует подчеркнуть, что гиперболические системы продолжают играть ведущую роль и в теории нелинейных систем с дисперсией, поскольку распространение (перенос) таких величин, как частота и волновое число, во многих случаях описывается гиперболическими уравнениями. Изучение слабонелинейных волн начинается с гл. IV, где кратко описан метод «двух времен» (нескольких масштабов), а затем этот вариант метода возмущений используется для вывода уравнений Бюргерса и Кортевега — де Вриза. Здесь же содержится сводка решений и особенностей указанных уравнений, часть из которых используется в последующих разделах книги.

В гл. V Джералд Уизем излагает разработанный им метод усредненных вариационных принципов. Этот подход стимулировал исследования нелинейных волн с дисперсией, и сейчас он

составляет солидную долю работ по второму из упомянутых выше классов задач. В гл. VI концепции и результаты Уизема рассматриваются Хейесом с несколько иной точки зрения, когда на первый план выступает фундаментальная роль «волнового действия». Оуэн Филлипс в гл. VII вводит понятие резонансных волновых взаимодействий в слабонелинейных системах и в общих чертах метод расчета таких взаимодействий. Глава VIII. написанная Робертом Миурой, состоит из двух частей. Первая посвящена преобразованию, которое было найдено Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой; это преобразование позволяет заменить нелинейное уравнение Кортевега — де Вриза некоторым линейным интегральным уравнением и таким образом получить его точные решения в явном виде. Во второй части главы к уравнению Кортевега — де Вриза применяется метод возмущений (напоминающий метод ВКБ), основанный на введении двух временных масштабов, и делается попытка описать поведение решения в предельном случае исчезающе малой дисперсии.

Хотя во многих случаях асимптотическая схема нескольких масштабов может применяться стандартным образом, возможны и более сложные ситуации. Так, в гл. IX Ричард Мейер обсуждает способ нахождения решений с двойным пределом. При этом используются идеи, выдвинутые Каплуном для проблемы пограничного слоя; можно полагать, что в будущем под известные сейчас специфические методы возмущений будет подведена общая математическая база. Богатые возможности для развития теории волновых процессов открыло исследование стратифицированных (слоистых) сред. В гл. X Йи Чиашун рассматривает вопросы распространения волн как исчезающе малой, так и конечной амплитуды в таких средах; кроме линейных решений изучен также важный класс стационарных нелинейных волн. Последняя глава, написанная Питером Лэксом, посвящена более строгому анализу нелинейных модельных уравнений. Здесь главное внимание уделяется выяснению математических оснований для большой эффективности преобразования, найденного Гарднером с соавторами для уравнення Кортевега — де-Вриза; это позволяет прийти к аналогичным результатам для других уравнений. Возможно, что идеи, описанные в этой главе, послужат отправной точкой для весьма важных направлений исследования.

Гл. V, некоторые фигуры из гл. VII и значительная часть гл. XI были воспроизведены с любезного разрешения Американского математического общества, Лондонского королевского общества и издательства Токийского университета.

Мы чрезвычайно признательны всем авторам за их труд. Хотя некоторые наши просьбы могли показаться скучными и обременительными, авторы всегда шли нам навстречу и это облегчило нашу задачу. Мы в долгу перед нашими женами за то

терпение, с которым они сносили наше отсутствие в течение, увы, многих вечеров и уикэндов, и мы благодарны им за это. Благодарим также Барбару Стивене за помощь при редактировании книги, Барбару Бенедикт и Мэри Джейрс за помощь в перепечатке рукописей и Кэрол Уайслер за выполнение рисунков. Наконец, мы признательны Центру прикладной математики и Техническому колледжу в Корнелле, а также Национальному научному фонду за материальную поддержку, сделавшую возможным проведение цикла семинаров, а следовательно, и выпуск этой книги.

Итака, шт. Нью-Йорк, Сидней Лейбович, Ричард Сибасс