2б. Эволюция профиля волны

Характер изменения формы волны зависит от соотношения между временами Если время значительно меньше, чем то волна достаточно быстро затухает и нелинейные эффекты вообще несущественны. К затуханию волны, обусловленному вязкостью, будет добавляться ослабление, связанное с геометрической расходимостью волны. При этом асимптотическое поведение волны определяется обоими временами и независимо от того, какое из них меньше. Из второго и третьего уравнений (25), беря их в любом порядке, находим

здесь функция удовлетворяет уравнению (256). В этом частном случае решение (27) уравнений (25б) и (25в) тождественно решению реконструированного линейного уравнения

Заметим, что в этом уравнении геометрические и диссипативные эффекты существенно разделяются, что иллюстрируется естественным образом выражением (27), полученным с помощью процедуры использования нескольких масштабов времени.

Наша основная цель состоит в изучении нелинейных волновых явлений. Как уже отмечалось, если то решение дается выражением (27) и нелинейные эффекты проявляются как эффекты высших порядков. Однако если то нелинейные эффекты существенны почти для всех моментов времени и, как мы увидим ниже, правильный временной масштаб для диссипативных эффектов больше не равен а зависит от

В соответствии с уравнениями (25) можно ожидать, что геометрические и нелинейные эффекты также разделяются и решение первых двух уравнений в любом порядке дает один и тот же результат. Например, при из уравнения (25в) находим

При этом первое уравнение (25а) сводится к уравнению

которое имеет общее решение (в неявном виде)

где — произвольная функция своего аргумента. Это решение получается непосредственно с помощью метода характеристик для уравнений первого порядка и может быть проверено прямой подстановкой. На рассматриваемом большом временном интервале необходимо учесть непостоянство времени Наоборот, если то из (25а) имеем

где произвольная функция своего аргумента, как мы и ожидали, зависит от Поскольку мы интересуемся временными масштабами, сравнимыми с то интеграл по не равен так как нужно учесть зависимость от Из уравнения

(25в) следует, что не зависит от Таким образом,

Следовательно, во всех случаях на интервалах времени, сравнимых с наибольшим из решение имеет вид

где определяется начальным (при ) условием: Конечно, такое же решение дает комбинированное уравнение

которое описывает волновое движение при когда сравнимы друг с другом.

Масштабы координат мы выберем так, что X измеряется в единицах максимального градиента величины Тогда в соответствии с должна стать многозначной по прошествии такого времени, за которое станет порядка единицы (при фиксированном или когда

если, конечно, этому процессу (увеличению крутизны фронта) не препятствует диссипация за счет вязкости, учитываемая вторым из уравнений (25). Следовательно, это уравнение справедливо на временном интервале определяемом выражением

Этот временной интервал более точно отражает то время, на котором нелинейные и, следовательно, диссипативные эффекты существенно влияют на уменьшение амплитуды наряду с эффектами геометрической расходимости. При времена, в течение которых фронт волны становится круче, равны соответственно для они равны Таким образом, диссипативные эффекты выступают на передний план за время, наименьшее из Однако если то из уравнения (26) следует, что необходимо учесть

вязкость только в небольшой области около крутого участка волнового фронта.

На временах, сравнимых с наибольшим из должны учитываться все уравнения (25), если только не выполнено условие случай, который мы рассмотрим первым. Таким образом, при волны должны описываться уравнением (26). Обозначая уравнение (26) можно представить в виде

В пределе решение (31) дается выражением, эквивалентным (29):

Многозначность решения (32) устраняется введением разрывов, т. е. ударных волн. Для любого эти разрывы должны иметь непрерывную структуру, определяемую балансом между членами с производными по X в уравнении (31). Очевидно, что безразмерная толщина разрыва представляет собой величину порядка Таким образом, введение разрывов приводит к физически правильному описанию решения с помощью (32) при и уравнение (30) при должным образом включается в более полное уравнение (31). (См. гл. III, п. 4г.) Изменения (скачки) физических переменных при переходе через разрывы можно определить, решая уравнение (31) и переходя в решении к пределу

Другой возможный подход, исследуемый здесь, связан с предельным гиперболическим уравнением, получаемым из (31) при При этом мы должны допустить, что соответствующие законы сохранения совместны с законами сохранения, получаемыми из полного уравнения, если предельное уравнение должным образом включается в более полную модель. Для возмущений, исчезающих достаточно быстро при закон сохранения может быть найден интегрированием (31) по всем значениям . В результате имеем

Таким образом, если в начальный момент времени задана форма волны то ее искажение в последующие моменты времени описывается выражением (32), как показано на фиг. IV. 1.

Фиг. IV. 1. Искажение начальной формы волны вследствие нелинейных эффектов.

Однозначность в решении достигается введением таких разрывов, которые сохраняют площадь под кривой в соответствии с формулой (33).