7. Переходные процессы

Сразу возникает вопрос: почему этих скудных принципов должно быть достаточно для определения преобразования растяжения? Требуется, чтобы условия (1) — (4) и (III) единственным образом определяли шесть неизвестных параметров как функции Оказывается, однако, что эта трудность несколько преувеличена. Мощность изучаемого множества — это мощность множества всех классов эквивалентности порядка (разд. 2), возведенная в шестую степень, и было бы вполне достаточно свести это огромное множество к конечному числу преобразований растяжения, так чтобы их относительные преимущества можно было выяснить индивидуально. Чтобы доказать реальность такой задачи, следовало бы провести соответствующее доказательство хотя бы в одном совершенно нетривиальном случае (и плазменная задача вполне подходит для этого), но объем любого такого анализа неизбежно выходит за рамки этой главы.

В качестве компромисса мы продемонстрируем особенности этого анализа на примере только одного из основных уравнений. Подставляя (6) в закон сохранения (2) и в дальнейшем везде опуская штрихи, так как далее будут рассматриваться только новые переменные, получаем

Правая часть этого уравнения тривиальна в силу а также потому, что при

Ни ни их в левой части не могут быть тривиальными, поскольку, как нетрудно проверить [5, 9], если функция из множества не тривиальна и удовлетворяет граничному условию (9), то она не может иметь тривиальной производной по Поэтому должна существовать точка в которой при и если не стремится к какому-либо пределу, то и не имеет определенного предела в этой точке, что противоречит Но если то, согласно должна быть тривиальной. Следовательно, отношение должно стремиться к ненулевому пределу, т. е. а поскольку система (1) — (5) однородна, то без потери общности можно положить . К другим уравнениям можно подходить так же; при этом указанная схема рассуждений повторяется вплоть до появления «асимптотического расчета». Систематическое изложение этого вопроса впервые было дано Олсоном [9].

Эта процедура позволила бы определить все параметры, если бы число дифференциальных уравнений не было меньше, чем число неизвестных параметров.

Фиг. IX. 5. Схема изменения в случае при

Фактически анализ распадается на две стадии, первая из которых характеризуется определением параметров. Для нормальной поперечной ударной волны в плазме таким путем определяются все амплитудные параметры, в частности Таким образом, возмущения средней скорости, плотности числа частиц и магнитного поля имеют один и тот же амплитудный масштаб.

Вторая, более трудная стадия требует также решения предельных дифференциальных уравнений. Здесь имеются четыре различных случая, охватывающих возможные соотношения между параметром амплитуды и масштабом длины . В первом из них

В этом случае, согласно [5], для масштаба времени имеем

а для возмущения магнитного поля

(фиг. IX. 5), где функция Эйри. (Во всех случаях изменения плотности числа частиц и средней скорости и имеют ту же форму, что и изменение магнитного поля.) Второй случай

означает [5], что и отношение стремится к некоторому пределу, допустим

Следовательно, здесь возможны два варианта. Если

то из основных уравнений и масштабных условии следует, что выражение

тривиально.

Это означает не столько то, что основное уравнение сводится к виду

в случае (15), сколько то, что это действительно дифференциальное уравнение, удовлетворяемое предельным решением [если в случае (15) существует какое-либо решение, удовлетворяющее Получение предельных дифференциальных уравнений, реальных в таком смысле, как раз и было целью длинных рассуждений, приведенных в разд. 5 и 6. Уравнение (16) оказывается уравнением Кортевега — де Вриза (см. гл. IV и VIII).

Во втором варианте

можно найти, что выражение

тривиально, откуда следует условие и выражение для уединенной волны (см. гл. IV и VIII)

Это выражение соответствует результату Мортона [3] для стационарных ударных переходов в холодной плазме; оно удовлетворяет условиям, сформулированным в разд. 6, но, конечно, не описывает ударной волны, поскольку при х-—оо плазма возвращается к первоначальному равновесному состоянию (9).

То, что во всех этих случаях означает вместе с (8), что альфвеновское число для таких волн близко к единице; иными словами, это магнитозвуковые волны. Наконец, если параметр Урселла [10]

Фиг. IX. 6. Схема изменения в случае

то, как можно показать, вновь существует, так что а выражение

тривиально. Следовательно, соответствующее предельное уравнение относится к гиперболическому типу (см. гл. III). Характеристиками, на которых являются на плоскости прямые линии с наклоном Если убывает с ростом при любом фиксированном то за конечный интервал времени две характеристики, несущие различные значения должны пересечься, что противоречит условию Следовательно, случай (20) возможен, только если монотонные неубывающие функции координаты при любом фиксированном (фиг. IX. 6), и это свойство сохраняется для всех последующих значений

В такой форме основные уравнения и масштабные условия были использованы в [5], чтобы совершенно строго свести всю группу преобразований (6) только к трем возможным преобразованиям. Фактически каждое из них является множеством классов эквивалентности порядка, точнее, множеством классов асимптотической эквивалентности в том смысле, что все его элементы приводят в первом приближении к одному и тому же решению.

Здесь следовало бы вспомнить, что принципы, обсуждавшиеся в разд. 6, не исчерпывают всех необходимых требований. Предельное приближение к двойному пределу малой амплитуды и почти стационарности при корректном с точки зрения физики порядке пределов требует (см. разд. 3), чтобы приближение Каплуна было справедливо для на левом множестве некоторой функции . В рассмотренном выше случае что характеризует правое, а не левое множество и, следовательно, (13) не может быть предельным приближением в корректном смысле.

При данной произвольно малой амплитуде ударной волны выражение (13) может быть справедливо лишь при степенях нестационарности порядка, большего чем Если же достигнутое состояние находится еще ближе к стационарному, то больше нельзя аппроксимировать решение выражением (13), которое, следовательно, описывает только асимптотический переходный процесс.

Фактически формула (13) имеет достаточно ясный вид, чтобы исключить приближение к стационарности в пределе . С увеличением времени волна (13) расширяется по закону и соотношение (12) становится несправедливым. Следует также заметить, что случай (12) и приближение (13) соответствуют результату, полученному классическим способом: сначала полагаем а затем применяем асимптотику больших времен к задаче с начальными условиями.

В случае что вновь не может представить любое левое множество. Следовательно, уравнение Кортевега — де Вриза (16) также может описывать лишь асимптотический переходный процесс, который должен уступить место другому приближению, когда стационарность достигается более близко, чем . В случае так что получающееся приближение могло бы быть справедливым на левом множестве, однако, как уже отмечалось, оно не дает ударной волны. Представляется поэтому с помощью условия на левое множество, что полная единственность в конце концов установлена, так как остался единственный случай (20). Здесь так что это приближение может быть справедливо на левом множестве.