4б. Акустические волны в трубах

Рассмотрим движение газа в трубе с площадью поперечного сечения предположив, что скорость газа и в направлении, а также его термодинамические функции постоянны в данном сечении трубы и зависят лишь от Пренебрежем всеми эффектами вязкости; другие упрощающие предположения будут сделаны в процессе изложения. Изменение со временем. массы в участке трубы длиной происходит со скоростью где плотность газа. Это изменение равно со знаком минус потоку массы, вытекающей из того же участка, т. е. . В результате получаем уравнение непрерывности

Первые два члена в этом выражении представляют собой временною производную от которую измерил бы наблюдатель, движущийся со скоростью и, т. е. вместе с частицами среды. Для такого наблюдателя (в отсутствие диссипации) изменения давления связаны с изменениями плотности соотношением

где квадрат скорости звука в газе. Поэтому уравнение непрерывности (47) можно переписать в виде

Сила, действующая на часть газа, заключенную в отрезке трубы длиной равна Ускорение газа равно производной по времени от скорости, измеренной наблюдателем, движущимся вместе с газом, т. е. Приравнивая силу массе элемента газа, умноженной на это ускорение, получаем следующее уравнение:

Рассмотрим теперь движение в виде малого возмущения газа, первоначально находившегося в покое при постоянном давлении. Возмущение скорости равно и, а изменение давления обозначим через Величины обозначают невозмущенные значения плотности и скорости звука. Опуская члены более высокого порядка, получаем следующие линеаризованные уравнения для акустических волн в трубе:

Уравнения (50) содержат две зависимые переменные Любую из них можно исключить, получив при этом одно уравнение для другой переменной. Если исключить то получим уравнение для :

а исключая и, получим для

В некоторых случаях удобно ввести новую зависимую переменную определяемую соотношением

Величину можно интерпретировать как смещение частицы в направлении Возмущение давления выражается через эту переменную [которая также удовлетворяет уравнению (51)] следующим образом:

Можно ввести также другую зависимую переменную, так называемый потенциал потока массы определяемый соотношением

Скорость выражается через следующим образом:

Переменная так же как и удовлетворяет уравнению (52). Плотность кинетической энергии на единицу длины равна

Акустическая потенциальная энергия на единицу длины может быть определена как

Плотности энергий удовлетворяют закону сохранения (18) в виде

Это соотношение можно получить и непосредственно из уравнений (50). Член Аикр описывает работу, совершаемую в единицу времени при движении, перпендикулярном плоскости

В простейшем случае постоянны, т.е. газ однороден, а сечение трубы неизменно. В этом случае формула (51) переходит в основное уравнение (27)

и скорость волны равна скорости звука. Переменные удовлетворяют такому же уравнению. Вследствие постоянства величина

является просто потенциалом скорости, т. е. Рассмотрим далее только случай а вместо используем Акустические волны, описываемые уравнением (27) [или (51), или (52)], продольны, движение частиц происходит в направлении оси Здесь отсутствуют как вырождение, так и какие-либо поляризационные явления.

Энергетическое уравнение (65) принимает вид общего закона сохранения (36) только при использовании переменной или . В этих случаях уравнения (55) и (36) отличаются лишь постоянным множителем, равным при использовании при использовании

Один из случаев, в котором встречаются такие линеаризованные волны в трубах, снова связан с музыкальными инструментами. Простейший пример — органная труба, в которой колеблется столб воздуха. Воздушный столб возбуждается на одном конце струей воздуха, падающей на острый край. На этом конце

граничное условие приближенно имеет вид или Если противоположный конец трубы открыт, то там имеет место то же граничное условие и основная частота определяется выражением (44). Если же на другом конце труба закрыта, то граничное условие на этом конце имеет вид и или . В этом случае основная частота равна половине частоты, определяемой выражением (44), а генерироваться могут лишь нечетные гармоники. Четырехфутовая закрытая труба и восьмифутовая открытая труба имеют одну и ту же основную частоту, которая соответствует длине волны, равной шестнадцати футам.

Плоские волны в безграничном однородном газе соответствуют, по существу, рассмотренному выше случаю, если считать А постоянной, а выбрать в направлении, перпендикулярном волновому фронту. Для произвольной (не обязательно плоской) волны можно показать, что в линейном приближении исходное уравнение имеет следующий вид:

Соответствующие плотности энергий относятся к единичному объему и определяются выражениями (53) и (54) с заменой на Поток энергии равен произведению на вектор скорости.