Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Волны в средах с дисперсиейИзучение волн с дисперсией начнем с бегущих периодических волн, которые в линейной теории являются синусоидальными и могут быть представлены в комплексной форме:
где функция В качестве примеров приведем уравнение балки
для которого
Линейное уравнение Кортевега — де Вриза записывается следующим образом:
при
Ни одно из этих дифференциальных уравнений не относится к гиперболическому типу. Более того, решения в виде волн могут допускать также интегральные уравнения. Например,
или
Следует заметить, что в (6) фазовая скорость
Аналогично, ядро В линейной теории волн на воде имеются элементарные решения, которые приводят к выражению (1) для высоты поверхности воды относительно невозмущенного уровня; при этом дисперсионное соотношение записывается в виде
где Такое разнообразие уравнений, описывающих волновое движение, показывает, что их общим свойством является скорее В линейных задачах дифференциальные уравнения можно, пожалуй, рассматривать просто как «источники» соответствующего дисперсионного соотношения, отводя дифференциальным уравнениям второстепенную роль. Как отмечалось выше, по дисперсионному соотношению всегда можно восстановить связанное с ним дифференциальное уравнение. Для линейных уравнений в частных производных вида
[см., например, уравнения (3) и (4)] дисперсионное соотношение имеет простой вид:
с очевидным соответствием
между этими уравнениями. Ясно, что если в дифференциальных уравнениях Обобщение на двух- и трехмерные случаи осуществляется непосредственно подстановкой в уравнения (1) и (2) волнового вектора к, что дает
Фазовая скорость равна по величине В линейных задачах более общие решения получают с помощью суперпозиции решений (1) или (11) с различными волновыми числами к и соответствующими частотами
В одномерном случае условие (12) записывается в виде
Разумеется, эти величины могут обращаться в нуль для отдельных значений к или предельных значений Дисперсионное соотношение, используемое при получении общих решений методом Фурье и, как мы увидим ниже, в более непосредственных асимптотических методах, позволяет провести общее исследование линейных задач. Однако этого явно недостаточно для решения нелинейных задач. Можно сформулировать задачу о волнах с дисперсией, исходя из существования периодических волн, аналогичных (1), но суперпозицию фурье-компонент нельзя использовать для последующих операций. Вероятно, впервые нелинейные волны с дисперсией были рассмотрены Стоксом в 1847 г. в связи с его исследованиями волн на воде. Для этих волн он нашел решение нелинейной задачи, используя разложение всех величин в ряд по степеням амплитуды, причем равномерная сходимость рядов обеспечивалась тем, что частота считалась зависящей от амплитуды. (Впоследствии этот метод стал известен как метод Пуанкаре!) В случае волн на глубокой воде соответствующие разложения для возвышения поверхности и частоты имеют вид
(Здесь и VIII), которое приближенно описывает волны на мелкой воде, является одним из наиболее важных примеров такого рода. Его преимущество связано с тем, что можно исключить вертикальную координату и получить в результате простое уравнение для возвышения поверхности:
где
Подстановка выражений (16) в (15) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению. После двукратного его интегрирования получаем
здесь
Можно сделать общее заключение, которое состоит в том, что признаком нелинейных волн с дисперсией является существование решения в виде периодических волн
где Простейшим примером, который приобрел интерес в последнее время, может служить нелинейное обобщение уравнения Клейна — Гордона:
Это уравнение относится к гиперболическому типу, но нас интересует дисперсионное поведение волны вдали от ее фронта. (Появление в одном и том же уравнении как «гиперболического», так и «дисперсионного» поведения решений еще раз демонстрирует сложность проблемы классификации.) Периодические решения удовлетворяют уравнению
первый интеграл которого записывается в виде
Постоянную интегрирования А можно использовать как параметр, эквивалентный амплитуде а. Уравнение (22) можно решить, причем для функции
Период
здесь Следующий шаг состоит в том, чтобы использовать такие периодические волны для получения более общих (нестационарных) решений. Очевидно, что в линейных задачах общее решение находят методом суперпозиции спектральных компонент, т. е. используя фурье-синтез. Этот метод мы изучим в следующем разделе, прежде чем вернемся к рассмотрению нелинейных задач.
|
1 |
Оглавление
|