1. Волны в средах с дисперсией

Изучение волн с дисперсией начнем с бегущих периодических волн, которые в линейной теории являются синусоидальными и могут быть представлены в комплексной форме:

действительные постоянные. Здесь амплитуда, волновое число (число колебаний на пространственном интервале частота (число колебаний на временном интервале Фазовая скорость волны Частота и волновое число связаны дисперсионным соотношением

где функция определяется из исходных уравнений задачи.

В качестве примеров приведем уравнение балки

для которого

Линейное уравнение Кортевега — де Вриза записывается следующим образом:

при

Ни одно из этих дифференциальных уравнений не относится к гиперболическому типу. Более того, решения в виде волн могут

допускать также интегральные уравнения. Например,

или

Следует заметить, что в (6) фазовая скорость представляет собой фурье-образ ядра обратно, ядро является фурье-образом

Аналогично, ядро в уравнении (7) есть фурье-образ величины Эти свойства полезны при составлении дифференциальных уравнений, которые будут приводить к данному дисперсионному соотношению; соответствующие ядра К или определяются по данной функции и используются в уравнениях (5) или (7). Если описывается полиномом, как в случае уравнений (3) и (4), то ядра содержат -функции и (5) и (7) сводятся к соответствующим дифференциальным уравнениям.

В линейной теории волн на воде имеются элементарные решения, которые приводят к выражению (1) для высоты поверхности воды относительно невозмущенного уровня; при этом дисперсионное соотношение записывается в виде

где глубина невозмущенной жидкости, ускорение свободного падения. В исходные уравнения наряду с координатами входит вертикальная координат у, однако зависимость от у не носит волнового характера. Соответствующая линейная задача для волн на воде сформулирована в гл. [V, разд. 3.

Такое разнообразие уравнений, описывающих волновое движение, показывает, что их общим свойством является скорее дисперсионного соотношения, чем тип уравнения.

В линейных задачах дифференциальные уравнения можно, пожалуй, рассматривать просто как «источники» соответствующего дисперсионного соотношения, отводя дифференциальным уравнениям второстепенную роль. Как отмечалось выше, по дисперсионному соотношению всегда можно восстановить связанное с ним дифференциальное уравнение. Для линейных уравнений в частных производных вида

[см., например, уравнения (3) и (4)] дисперсионное соотношение имеет простой вид:

с очевидным соответствием

между этими уравнениями. Ясно, что если в дифференциальных уравнениях полином, то мы всегда имеем полиномиальные дисперсионные соотношения. Уравнение (10) является трансцендентным вследствие того, что зависимость от у не описывает волнового движения. Вывод интегрального уравнения (5) с помощью (9) и (10) был выполнен Уиземом [1] и Селиджером [2].

Обобщение на двух- и трехмерные случаи осуществляется непосредственно подстановкой в уравнения (1) и (2) волнового вектора к, что дает

Фазовая скорость равна по величине и имеет направление вдоль волнового вектора k.

В линейных задачах более общие решения получают с помощью суперпозиции решений (1) или (11) с различными волновыми числами к и соответствующими частотами удовлетворяющими дисперсионному соотношению. В тех случаях, когда фазовая скорость не одинакова для всех значений к, мы имеем дело с «дисперсией». При этом спектральные компоненты, составляющие любое заданное возмущение, будут распространяться с различными скоростями, и возмущение расплывается («диспергирует»). Условие наличия у волн дисперсии удобно также определить с помощью корней дисперсионного соотношения (слегка изменив при этом определение). Будем считать, что линейные волны обладают дисперсией, если

В одномерном случае условие (12) записывается в виде

Разумеется, эти величины могут обращаться в нуль для отдельных значений к или предельных значений Условие (13) почти эквивалентно неравенству за исключением случая, когда для которого но с Впрочем, этот специальный случай не подлежит рассмотрению, поскольку в нем отсутствует какая-либо реальная дисперсия. Следует отметить также, что обычное волновое уравнение, для которого не содержит волн с дисперсией. Спектральный подход, использующий гармонические решения уравнения (1) и последующую суперпозицию таких волн, дает правильные результаты, но дисперсия при этом отсутствует. Свойства волн в более общих случаях, когда мы рассмотрим в следующем разделе.

Дисперсионное соотношение, используемое при получении общих решений методом Фурье и, как мы увидим ниже, в более непосредственных асимптотических методах, позволяет провести общее исследование линейных задач. Однако этого явно недостаточно для решения нелинейных задач. Можно сформулировать задачу о волнах с дисперсией, исходя из существования периодических волн, аналогичных (1), но суперпозицию фурье-компонент нельзя использовать для последующих операций.

Вероятно, впервые нелинейные волны с дисперсией были рассмотрены Стоксом в 1847 г. в связи с его исследованиями волн на воде. Для этих волн он нашел решение нелинейной задачи, используя разложение всех величин в ряд по степеням амплитуды, причем равномерная сходимость рядов обеспечивалась тем, что частота считалась зависящей от амплитуды. (Впоследствии этот метод стал известен как метод Пуанкаре!) В случае волн на глубокой воде соответствующие разложения для возвышения поверхности и частоты имеют вид

(Здесь отличается множителем от значений использованных в гл. IV.) Основная идея исследования Стокса состоит в том, что дисперсионное соотношение учитывает амплитуду, т. е. фазовая скорость зависит как от волнового числа, так и от амплитуды. Ниже мы рассмотрим простейшие примеры, в которых результаты, соответствующие разложению (14), выражены в замкнутой форме. Уравнение Кортевега — де Вриза (см. гл. IV

и VIII), которое приближенно описывает волны на мелкой воде, является одним из наиболее важных примеров такого рода. Его преимущество связано с тем, что можно исключить вертикальную координату и получить в результате простое уравнение для возвышения поверхности:

где Решения для периодических волн имеют вид

Подстановка выражений (16) в (15) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению. После двукратного его интегрирования получаем

здесь постоянные интегрирования. Решение можно записать через эллиптическую функцию Якоби ; соответствующие этому решению волны Кортевег и де Вриз назвали «кноидаль-ными». В предельном случае [когда кубический полином в правой части уравнения (17) имеет двукратно вырожденный нулевой корень] получаем уединенную волну. (Эти волны были рассмотрены подробно в гл. Для периодических волн соотношение между амплитудой (или модулем эллиптической функции) и параметрами определяется дисперсионным уравнением

Можно сделать общее заключение, которое состоит в том, что признаком нелинейных волн с дисперсией является существование решения в виде периодических волн

где -периодическая функция фазы ; решение для содержит в качестве параметра амплитуду а, и оно удовлетворяет дисперсионному соотношению вида (18). При этом оказывается, что как так и могут содержать и другие важные параметры.

Простейшим примером, который приобрел интерес в последнее время, может служить нелинейное обобщение уравнения Клейна — Гордона:

Это уравнение относится к гиперболическому типу, но нас интересует дисперсионное поведение волны вдали от ее фронта.

(Появление в одном и том же уравнении как «гиперболического», так и «дисперсионного» поведения решений еще раз демонстрирует сложность проблемы классификации.) Периодические решения удовлетворяют уравнению

первый интеграл которого записывается в виде

Постоянную интегрирования А можно использовать как параметр, эквивалентный амплитуде а. Уравнение (22) можно решить, причем для функции получим решение в неявной форме:

Период будем считать равным тогда по-прежнему будут определять число осцилляций на интервале по координате и времени. Таким образом, из (23) следует, что

здесь означает интегрирование по периоду. Это и есть дисперсионное соотношение, определяющее связь между

Следующий шаг состоит в том, чтобы использовать такие периодические волны для получения более общих (нестационарных) решений. Очевидно, что в линейных задачах общее решение находят методом суперпозиции спектральных компонент, т. е. используя фурье-синтез. Этот метод мы изучим в следующем разделе, прежде чем вернемся к рассмотрению нелинейных задач.