ГЛАВА XI. Инвариантные функционалы нелинейных эволюционных уравнений

Питер Д. Лэкс

Начнем с краткого описания некоторых аспектов спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве, используемых в разд. 1 этой главы.

Действительное гильбертово пространство, или пространство с внутренним произведением, есть линейное пространство над множеством действительных чисел, в котором определено внутреннее произведение для каждой пары векторов. Внутреннее произведение имеет следующие свойства:

1) линейность: где скаляры, векторы;

2) симметрия:

3) положительность: для

Величина обозначаемая через называется нормой функции Действительная функция определенная на пространстве, называется линейным функционалом, если

Из свойства 1 следует, что

является линейным функционалом от для произвольно выбранной функции Мы предполагаем, что верно и обратное, т. е. что каждый непрерывный линейный функционал имеет такой вид. Это свойство гильбертова пространства называется полнотой.

Прототипами гильбертова пространства являются пространства функций, квадратично интегрируемых на некотором интервале. В этом случае скалярное произведение двух функций определяется следующим образом:

Линейный оператор это такое отображение гильбертова пространства в себя, для которого выполняется соотношение

Важную роль в математической физике играют дифференциальные операторы, но они определены не для любой функции а только для гладкой.

Оператор называется сопряженным к оператору если

для всех функций для которых определены эти операторы, и если нельзя расширить без нарушения этого свойства (это обозначение не нужно путать с комплексным сопряжением). Оператор называется самосопряженным, если сопряженный к нему оператор совпадает с ним, и антисамосопряженным — если оператор является сопряженным к Если везде определены и сопряжены друг к другу, то оператор называется унитарным. Эти классы операторов играют ведущую роль в математической физике.

Пусть унитарный оператор, тогда для любого вектора

Таким образом, унитарные операторы сохраняют длину. Отображение можно рассматривать просто как введение новых координат (представления) в гильбертовом пространстве. В этом новом представлении оператор преобразуется к виду Заметим, что если оператор самосопряженный, то и также самосопряженный. Операторы называются унитарно эквивалентными.

Спектром оператора называется множество таких чисел для которых оператор является необратимым. Если действие на ненулевой вектор дает нуль, то называется собственным значением, собственным вектором. Совокупность всех собственных значений называется точечным спектром Часто спектр и точечный спектр представляют именно ту информацию об операторе, которую больше всего стремятся получить. Во многих случаях они являются физически наблюдаемыми величинами.

В разд. 1 мы будем изучать классический оператор Шредингера

здесь функция и называется потенциалом. Если функции, на которые действует определены на конечном интервале, то самосопряженность оператора достигается с помощью граничных условий, накладываемых на оба конца. Классический

результат состоит в том, что оператор действуя на конечном интервале на функции, удовлетворяющие граничным условиям, имеет полное множество собственных векторов здесь полнота означает, что векторы могут быть использованы в качестве системы координат в гильбертовом пространстве.

Точечный спектр полностью определяется потенциалом и, входящим в оператор Известно, что обратное утверждение неверно, т. е. два оператора с совершенно различными потенциалами могут иметь один и тот же точечный спектр. В первой части разд. 1 мы исследуем класс всех потенциалов для которых имеет тот же спектр, что и заданный оператор второго порядка. Основным способом для отыскания таких операторов служит утверждение, что имеют один и тот же спектр тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны. Мы также будем использовать операторы, зависящие от параметра которые можно дифференцировать по Производная такой операторной функции определяется так же, как и обычная производная, т. е. как предел отношения приращений. При этом применимы обычные правила дифференциального исчисления, в частности правило Лейбница о дифференцировании произведений.

Для иллюстрации такого вычисления операторных функций рассмотрим однопараметрическое семейство унитарных операторов дифференцируемых по Унитарность означает, что

где I — единичный оператор. Дифференцируя по и обозначая производные по нижним индексом имеем

Обозначая через В, воспользуемся далее следующими простейшими правилами:

1) т. е. сопряженность рефлексивна для всюду определенных операторов.

2) т. е. операции дифференцирования по и сопряжения коммутативны.

3) т. е. сопряженные от произведения операторов равны произведению сопряженных к ним операторов, взятых в обратном порядке.

Применяя эти правила к получаем

Так как унитарный оператор, находим

т. е. оператор -антисимметричный. Это соотношение будет использовано в разд. 1.

Как указывалось в разд. 3, операторное умножение не коммутативно: его результат зависит от порядка сомножителей в произведении, однако в дальнейшем будет показано, что к этому следует относиться скорее с удовлетворением, чем с тревогой; разность операторов и называется коммутатором операторов и обозначается специальным символом

Во второй части разд. 1 мы изучим оператор Шредингера на всей действительной оси для потенциалов, которые стремятся к нулю при . В этом случае существует только конечное число собственных значений (возможно, и ни одного), и все они положительны. Любое отрицательное число принадлежит к спектру оператора, но соответствующие собственные функции, т. е. решения уравнения

не являются квадратично интегрируемыми, и поэтому они не принадлежат гильбертову пространству. Несмотря на указанный недостаток, эти собственные функции играют важную роль для изучения свойств оператора который используется в конце разд. 1.