6. Существование, единственность и вычисление обобщенных решений

Для одного уравнения

в настоящее время имеется четкая теория существования и единственности. Для начальных условий в классе ограниченных измеримых функций имеется единственное «истинное» решение такое, что для каждого фиксированного и ограниченная измеримая функция в пространстве непрерывно зависящая от начальных данных (в соответствующем смысле). Кроме того, если начальные условия имеют ограниченную вариацию в смысле Тонелли — Чезари, то также имеет

ограниченную вариацию в том же смысле. С точки зрения применений к физике сплошных сред класс сред с ограниченной вариацией наиболее уместен, так как в его рамках разрывы могут быть определены и изучены естественным образом.

Приведенные выше результаты были получены независимо методом исчезающей вязкости [14, 15], методом регуляризации, связанным с критерием гладкости (см. п. 46) [16], и методом конечных разностей [17], который к тому же дает схему построения численного решения.

Уравнение (15), представляющее собой одномерную форму уравнения (40), было изучено давно. Для него было предложено несколько сходящихся разностных схем (см., например, [18]). Его решения были также построены методом потенциала [7] и методом полигональных аппроксимаций [19]. Если не меняет знак, то может быть получено решение в явном виде [8].

Напротив, теория существования для систем, состоящих из более чем одного уравнения, развита относительно слабо. Наиболее общая из известных теорем устанавливает существование обобщенного решения для истинно нелинейных систем вида (38) при начальных условиях с достаточно малыми осцилляциями и общей вариацией [20]. Для системы двух уравнений эти предположения были ослаблены, так что общая вариация начальных данных не обязана быть малой или даже ограниченной [21]. Было также установлено существование решений для истинно нелинейных (а также несколько более общих) систем при начальных условиях, которые не обязаны иметь малые осцилляции, но вместо этого должны удовлетворять довольно строгим условиям монотонности [22, 23]. При тех же ограничениях в [24] было изучено взаимодействие различных комбинаций волн.

Насколько известно автору, единственная приемлемая теорема существования для систем с общими начальными условиями относится к системе (17) в специальном случае [25]. Для систем, не являющихся истинно нелинейными, теорем существования пока нет, хотя получено огромное количество частных решений — прежде всего для уравнений газовой динамики.

Теоремы единственности в классе кусочно гладких функций известны для довольно общих систем [7]. Однако этот класс функций недостаточно широк, чтобы включать все обобщенные решения (например, он исключает решения с центрированными простыми волнами). Теорема единственности в достаточно широком классе функций была доказана только для системы (17) (а также для ее обобщения на случай нескольких пространственных переменных) в предположении, что функция выпуклая или вогнутая [26, 27].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)