ГЛАВА VIII. Уравнение Кортевега — де Вриза — модельное уравнение для нелинейных волн в средах с дисперсией

Роберт М. Миура

Одним из простейших модельных уравнений, используемых при изучении нелинейных волновых явлений в средах с дисперсией, служит уравнение Кортевега — де Вриза (КДВ)

которое точно так же, как уравнение Бюргерса

является простейшим модельным уравнением при описании нелинейных диссипативных волновых процессов. Уравнение КДВ - это нелинейное уравнение в частных производных с нелинейным членом аиих и дисперсионным членом . В физике оно описывает эволюцию нелинейных волн малой, но конечной амплитуды на больших интервалах времени. Своим происхождением это уравнение обязано Кортевегу и де Вризу [1], изучавшим длинные волны на воде, о чем упоминалось в гл. IV. Кроме того, уравнение КДВ возникает при изучении магнитогидродинамических волн в холодной плазме [2], продольных ангармонических колебаний Дискретно нагруженной струны [3-6], ионнозвуковых волн в холодной плазме [7], волн давления в газожидкостных смесях [8], вращающегося в трубе потока жидкости [9] и продольных волн в упругих стержнях [10]. Вцвод уравнения КДВ (как и уравнения Бюргерса) для довольно общего класса уравнений был дан в работах [11, 12]. Забуский и Гэлвин [13] показали, что уравнение КДВ дает весьма точное описание поведения слабо затухающих волн на воде. В дополнение ко всем этим конкретным приложениям уравнение КДВ служит моделью, на которой проверяются новые методы решения нелинейных уравнений и определяются свойства таких уравнений и их решений.

Хотя в приложениях параметры в уравнении (1) принимают вполне определенные значения, простая замена переменных допускает произвольный выбор действительных и . В большинстве математических исследований уравнения (1) полагают Однако в большей части данной главы удобно положить тогда уравнение КДВ принимает вид

Хотя уравнение КДВ появляется в разнообразных приложениях, современный интерес к нему со стороны математиков вызван определенными свойствами этого уравнения и его решений. Это уравнение имеет стационарные решения в виде периодических (однородных) и уединенных волн. Однородные стационарные решения, называемые кноидальными волнами, могут быть выражены через эллиптические функции Якоби. Уединенные же волны имеют вид

[отметим, что уединенная волна отрицательна, поскольку отрицателен коэффициент при нелинейном члене в (3)]. Решение (4) показывает, что уединенные волны распространяются вправо со скоростью которая пропорциональна амплитуде, и имеют ширину, обратно пропорциональную квадратному корню из амплитуды.

Одним из наиболее интересных свойств этих решений является «линейное» поведение уединенных волн. Известно, что решения лннейных уравнений при сложении дают новое решение. Одно из следствий этого состоит в том, что две стационарные бегущие линейные волны могут проходить друг через друга, не изменяя своей формы. Суперпозиция же решений нелинейных уравнений в общем случае уже не приводит к новым решениям. Однако численные расчеты Забуского и Крускала [14] показали, что две уединенные волны с различными амплитудами взаимодействуют нелинейно, но выходят из взаимодействия неизмененными. Это сходство уединенных волн с частицами и породило название «солитоны». Рассмотрим, в частности, два достаточно разнесенных друг от друга солитона, причем больший солитон находится слева от меньшего (фиг. VIII. 1,а). Поскольку более высокий солитон имеет большую скорость, он догонит более низкий, а следовательно, и более медленный солитон. Затем они нелинейно взаимодействуют в соответствии с уравнением КДВ, и, как это ни удивительно, после взаимодействия они остаются неизменными (фиг. VIII. 1,6).

Фиг. VIII. 1. Взаимодействие солитонов

Нелинейность таких решений состоит в том, что долитоны сдвинутся по отношению к тем положениям, в которых они находились бы в отсутствие взаимодействия. Такое поведение солитонов было численно подтверждено Забуским [4] и затем доказано Лэксом [15]. Ниже будет описан метод решения уравнения КДВ, который может быть использован для доказательства соответствующего результата в случае различных солитонов, где произвольное, но конечное число.

В более общем случае, как было показано численно [16], в дополнение к солитонам, распространяющимся вправо (или вместо них), решения могут обладать расплывающимися осциллирующими «хвостами», распространяющимися влево (фиг. VIII. 2).

Фиг. VIII. 2. Решение, состоящее из двух солитонов и осциллирующего хвоста.

Очевидно, что распространение такого осциллирующего хвоста влево связано с отрицательной групповой скоростью линейных волн.