2. Волны конечной амплитуды

Вначале мы рассмотрим двумерные гравитационные волны, которые обусловлены препятствием, помещенным в установившееся течение слоистой жидкости. Уравнения движения для установившегося двумерного течения имеют вид

где плотность, давление; остальные обозначения те же, что и в разд. 1. Ввиду условия несжимаемости

уравнение непрерывности имеет вид (6). Если обозначить [7]

где некоторая постоянная плотность, то с учетом (31) уравнения (29), (30) и (6) можно записать в виде

Уравнения (32) и (33) проще, чем (29) и (30), поскольку константа, тогда как в левых частях (29) и (30) стоит переменная Поэтому мы будем использовать (32) — (34).

Уравнение (34) позволяет ввести функцию тока по формулам

тогда -компонента завихренности данного течения (с компонентами скорости равна

где — двумерный лапласиан. Уравнения (32) и (33) можно записать в виде

Умножая (35) на а (36) на и складывая, получаем

где

— функция Бернулли, которая не меняется вдоль линии тока и поэтому, как и является функцией только Таким обра уравнение (37) можно переписать в виде [7]

Это уравнение имеет более простую форму, чем соответствующее уравнение для [функции тока истинного течения, связанного с соотношениями (8)]:

полученное впервые Дюбрей-Жакотен [8] и затем независимо Лонгом [9]. Мы будем пользоваться уравнением (38) вместо (39) ввиду его простоты.

Здесь уместно отметить, что аналогичные уравнения, описывающие стационарные трехмерные возмущения конечной амплитуды в слоистой жидкости, также известны [10], но весьма трудны для решения.