5. Вариационные принципы

Вернемся теперь к общему обсуждению проблемы и продолжим анализ, начатый в разд. 3. Как отмечалось там, для решения общей задачи можно использовать вариационный принцип. Эффективность метода очевидна: он позволяет обращаться с нелинейными задачами так же просто, как с линейными! Для иллюстрации основных идей мы используем нелинейное уравнение Клейна — Гордона (20). Наконец, все, что нам потребуется, — это соответствующий лагранжиан, так чтобы в общем случае результаты можно было отнести к произвольному лагранжиану. Уравнение (20) можно вывести из вариационного принципа

где

Периодическое решение имеет вид где величины являются постоянными. Действительное решение для содержит еще одну постоянную А, которая эквивалентна амплитуде. Рассмотрим теперь функции, которые удовлетворяют такому решению. Соответствующий лагранжиан записывается в виде

Вариация величины по должна приводить к уравнению, описывающему периодические решения. Например, для уравнения Клейна — Гордона

и уравнение (21), действительно, следует из вариационного уравнения

Однако наша цель состоит в том, чтобы найти уравнения для величин которые могут изменяться. Опишем соответствующую процедуру на основании интуитивных аргументов; ее формальное обоснование будет сделано ниже. Для периодической волны вычислим «усредненный» лагранжиан

зависящий от постоянных параметров (Здесь имеется одна тонкость, к которой мы вскоре вернемся.) Предположим, что при обобщении на квазипериодическую волну медленно меняющиеся функции и А будут удовлетворять вариационным уравнениям, полученным с помощью «усредненного» вариационного принципа

В последнем случае и А не могут изменяться независимо, поскольку они связаны между собой через :

Вариационные уравнения, соответствующие вариациям в (61), имеют вид

и

После того как уравнение (63) получено, удобно решать задачу с помощью и замкнуть систему очевидным уравнением совместности

Бот и вся теория! Уравнение (62), которое связывает следовательно, должно быть дисперсионным соотношением. Уравнение (63) должно быть искомым дифференциальным уравнением для амплитуды. Рассмотрим теперь применение вариационного принципа более подробно.