1. Законы сохранения и нелинейное преобразование уравнения КДВ

Из уравнения КДВ следуют многочисленные законы сохранения, т. е. уравнения вида

где есть сохраняющаяся плотность, а X называется потоком.

Рассмотрим сначала случай, когда сохраняющиеся плотности и потоки являются полиномами от производных и по Очевидно, например, что уравнение КДВ можно записать в виде следующего закона сохранения:

Умножение уравнения КДВ на и дает другой закон сохранения:

Третий закон сохранения был найден Уиземом [17], а два следующих — Забуским и Крускалом [4]. Всего были найдены в явном виде полиномиальные сохраняющиеся плотности для одиннадцати законов сохранения [18, 19], и было высказано предположение, что их число неограниченно. Ранняя попытка доказать это предположение привела к явной формуле для сохраняющихся плотностей в том случае, если они существуют [19], но эта формула не могла быть использована для доказательства существования.

Из другого уравнения, аналогичного уравнению КДВ,

также вытекают многочисленные законы сохранения [18]. Соответствующее уравнение с положительным знаком перед нелинейным членом возникает в теории ангармонических колебаний дискретно нагруженной струны [4]. Если, однако, сделать дальнейшее обобщение

то при целое число) существуют только три полиномиальные сохраняющиеся плотности. (Общие результаты для класса уравнений, который включает все упомянутые уравнения, будут даны ниже.) Это привело к предположению о возможной связи между солитонами уравнения -уравнения (6). Казалось безнадежным определить эту связь прямым сравнением (3) и (6), но сравнение законов сохранения привело к многочисленным условиям, из которых вытекало желаемое соотношение [20].

Теорема 1. Если удовлетворяет уравнению (6), т. е. то функция и, определяемая соотношением

удовлетворяет уравнению КДВ, т. е. Доказательство дается равенством

Заметим, что обратное утверждение несправедливо из-за дополнительного оператора, действующего на функцию Как мы увидим ниже, преобразование (7) приводит ко многим важным результатам.

Но вернемся к вопросу о существовании полиномиальных законов сохранения для уравнения КДВ. Гарднер (см. [20]) обобщил преобразование (7), введя некоторый формальный параметр Это может быть выполнено следующим образом. Уравнение КДВ инвариантно по отношению к преобразованию Галилея; иными словами, замена переменных

оставляет неизменным вид уравнения в новых (штрихованных) координатах. С другой стороны, «к-уравнение» не инвариантно по отношению к преобразованию Галилея. Произведем следующую замену переменных:

тогда уравнение КДВ остается неизменным, но теперь преобразование (7) принимает вид

где все штрихи опущены, и уравнения для связаны соотношением (8):

Соотношения (9) и (10) обобщают соотношения (7) и (8) соответственно. Так как уравнение КДВ не содержит то только зависит от Из решения (9) и (10) можно найти соответственно до и в виде степенных рядов по Формальный степенной ряд для имеет вид

где являются полиномами по и, их, Так как то

для всех степеней (эта запись имеет вид законов сохранения). Таким образом, не только представляет сохраняющуюся плотность; прямая подстановка в и приравнивание нулю коэффициентов при каждой степени дают законы сохранения с сохраняющимися плотностями каждый из них является законом сохранения для уравнения КДВ. Можно, однако, показать [18], что только коэффициенты при четных степенях приводят к нетривиальным законам.

Из (7) — (9) видно, что каждый закон сохранения для уравнения КДВ дает закон сохранения для -уравнения и закон сохранения для -уравнення. Следовательно, существует неограниченное число законов сохранения для каждого из них. Рассмотрим следующий общий класс уравнений:

где Этот класс включает в качестве частных случаев (при разных параметрах) уравнение КДВ, -уравнение и уравнение Бюргерса. Относительно законов сохранения для уравнения (13) можно сделать следующие выводы (подробности и доказательства см. в

1. Если четное число, то существует только один полиномиальный закон сохранения, а именно само уравнение.

2. Если то существуют по крайней мере три закона сохранения с сохраняющимися плотностями:

В табл. VIII. 1 содержится полное число различных полиномиальных законов сохранения, которые существуют для соответствующих уравнений, определяемых целыми числами

Таблица VIII.1 (см. скан)

Уравнения с линейны, и легко показать, что они имеют неограниченное число полиномиальных законов сохранения, причем сохраняющиеся плотности имеют вид Для можно определить новую переменную удовлетворяющую уравнению для которой легко получить бесконечное число полиномиальных законов сохранения (а также законов других типов). Два других уравнения, обладающие бесконечным числом полиномиальных законов сохранения, — это уравнение КДВ и -уравнение (6). Остальные уравнения в классе (13) обладают только тремя полиномиальными законами сохранения, причем до сих пор не ясно, почему уравнение КДВ и уравнение (6) являются особыми и что мешает другим уравнениям иметь большее число полиномиальных законов сохранения.

Для класса уравнений с имеются законы сохранения другого типа, которые вместе сии производными содержат явно

Интегрируя это соотношение на интервале для решений, достаточно быстро исчезающих на бесконечности, получаем

Это означает, что первый момент решения является линейно возрастающей функцией времени, т. е. «центр масс» решения движется вправо с постоянной скоростью.

Можно также получить законы сохранения, используя теорему Нетер (см. [22]). Законы сохранения, приводящие к трем сохраняющимся плотностям (14), соответствуют инвариантности по отношению к трансляциям по где и по (пространство) и по (время). Закон же сохранения (15), который явно содержит в дополнение к отражает инвариантность по отношению к преобразованию Галилея.