1. Примеры волн с дисперсией. Фазовая и групповая скорости

Длинный список дисперсионных волновых движений включает много хорошо известных и важных физических явлений. Привычными, хотя и математически сложными примерами являются световые волны в преломляющей среде, сейсмические волны в земной коре и звуковые волны в океане. Два других примера, которые описываются более простыми уравнениями, мы приведем ниже (в безразмерной форме). Они будут использованы ниже в этой главе для иллюстрации теории дисперсионных волн.

I. Поперечные волны, распространяющиеся вдоль натянутой упруго закрепленной струны, описываются уравнением

Это уравнение, известное под названием уравнения Клейна — Гордона, встречается также в квантовой механике.

II. Продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции описываются уравнением

Уравнение (4) известно также для волн на мелкой воде как линейное уравнение Буссинеска. Аналогичное уравнение было получено Лявом в его «Трактате математической теории упругости» (1927 г.), и для волн в стержнях оно известно как уравнение Лява.

Обзор теории волн с дисперсией начнем с частного волнового решения, а именно с гармонической волны

которая удовлетворяет любому линейному уравненню движения с постоянными коэффициентами в -пространстве, если выбраны подходящие значения Однако отличительная черта волн с дисперсией заключается в том, что частота является действительной нелинейной функцией волнового числа (для действительных Это свойство и определяет линейные уравнения для воли в одномерном пространстве. Более общее

рассмотрение дисперсионных волн проводилось в гл. I, разд. 2. Напомним здесь некоторые из положений гл. I применительно к частному случаю одномерного распространения.

В любой данной задаче соотношение между так называемое дисперсионное соотношение для этой задачи, определяется непосредственной подстановкой одной гармонических волн вида (5) в исходные уравнения. В приведенных выше примерах дисперсионные соотношения имеют вид

Заметим, что (5) удовлетворяет и волновому уравнению (1), но с линейным дисперсионным соотношением Значит, согласно определению, приведенному в гл. I, волновое уравнение бездисперсионно. Другой пример — уравнение теплопроводности

для которого будет чисто мнимой функцией по этой причине оно также не описывает дисперсионное волновое движение.

Для гармонической волны с амплитудой А, входящей в (5), значение показателя экспоненты, или фазы, будет фиксировано, если двигаться в положительном направлении по с фазовой скоростью (см. гл. I, разд 2):

Аналогично волна с амплитудой В движется в противоположном направлении с той же самой фазовой скоростью. Для волнового уравнения не зависит от Однако для дисперсионных волн соотношение (6) означает, что гармонические волны с разными частотами распространяются с разными скоростями. Поскольку волна произвольной формы может быть представлена как суперпозиция гармонических компонент, то становится понятным, почему дисперсионные волны при движении изменяют свою форму: различные гармонические компоненты, составляющие профиль волны в данный момент времени, распространяясь с разными скоростями в любой более поздний момент времени складываются с другими фазами, и их комбинация дает другой волновой профиль. Фактически изменение формы волны обусловлено определенными физическими или геометрическими свойствами среды, в которой волна генерируется и распространяется. Следовательно, вместо «волн с дисперсией», возможно, более правильно было бы говорить о среде с дисперсией или (там, где только геометрические свойства обусловливают дисперсию) о дисперсионной геометрии (см. гл. ). Однако, какова бы

ни была терминология, смысл явления определяется выражением (6).

Другая скорость, связанная с гармоническими волнами (5) в среде с дисперсией, — это групповая скорость С, определенная в гл. I как

Она также зависит от волнового числа . В действительности групповая скорость — это наиболее важная скорость, связанная с дисперсионными волнами, так как она определяет не только скорость данной группы колебаний в некоторой волне, но также совпадает со скоростью распространения энергии, переносимой этой группой. Более того, как будет показано позже, в среде с дисперсией любое начальное возмущение в конце концов разбивается на такие группы.

Применяя формулы (6) и (7) к дисперсионным соотношениям из предыдущих примеров, получаем следующие выражения для фазовых и групповых скоростей:

Ранее говорилось, что частота простых гармонических волн в идеальной среде с дисперсией может быть действительной, откуда следует, что энергия волны сохраняется. Однако в любой реальной системе всегда в какой-то мере присутствуют механизмы диссипации. Математически потери за счет диссипации проявляются в том, что из дисперсионного соотношения получаются комплексные или чисто мннмые значения соответствующие действительным значениям Тогда амплитуда гармонической волны экспоненциально убывает со временем. В случае комплексной частоты с ненулевой действительной частью фазовая и групповая скорости все еще могут быть определены через действительные величины, однако, например, групповая скорость может потерять свой физический смысл, если диссипация (т. е. мнимая часть перестает быть малой. Тогда теория волн в средах с дисперсией потребует модификации. Этот вопрос мы обсудим в разд. 5.

С другой стороны, комплексные значения соответствующие действительным частотам, могут встречаться и в консервативных системах с дисперсией. Один класс таких задач включает в себя распространение нескольких тнпов волн (мод), которые могут обмениваться между собой энергией. В этом случае мода с комплексным волновым числом будет отдавать свою энергию

другим модам (или отбирать ее из других мод) в такой пропорции, чтобы сохранить суммарную энергию волн. Эта ситуация встречается при распространении определенных типов волн в упругих пластинах.

Кроме того, в консервативной системе, в которой существует частота отсечки, возможны чисто мнимые волновые числа при действительных частотах. В примере I, приведенном выше, становится мнимым для частот ниже в то время как в примере мнимое число для частот выше Такие частоты называются частотами отсечки потому, что при мнимом гармонические волны (5) исчезают, а появляются распространяющиеся волны, амплитуда которых экспоненциально убывает с расстоянием. Физически же квазигармоническое возмущение с частотой, которой соответствует мнимое значение будет превращаться в расходящиеся группы волн с частотами, на которых распространение возможно. Апериодическое возмущение (например, ступенька) будет расплываться аналогичным образом. Однако гармоническое возмущение с частотой, лежащей в диапазоне, где действительное число, передается через среду без такого быстрого расплывания с собственной групповой скоростью. Эти результаты иллюстрируются в разд. 3. Во всех консервативных случаях одиночные гребни, которые образуют определенные группы волн, движутся внутри группы с фазовой скоростью, в то время как энергия, переносимая этой группой, распространяется с групповой скоростью.