5. Растяжение

Уравнения представляют собой нелинейную систему, состоящую из двух уравнений сохранения и двух дополнительных уравнений; эта система вполне типична для уравнений, изучаемых в математической физике. Поэтому любой метод нахождения их предельных решений, близких к стационарным,

при фиксированной малой амплитуде должен оказаться полезным также во многих других задачах. Излагаемый ниже метод основан на том выводе (см. разд. 3), что достаточную информацию о двойном пределе можно получить из множества однократных пределов Каплуна, в которых амплитуда решения и скорость его изменения во времени стремятся к нулю, будучи определенным образом связанными между собой.

Можно ожидать, что большинство таких пределов будет включать определенную степень сингулярности или вырождения решения, так что для их исследования необходимо привлечь преобразования растяжения. В соответствии с этим введем весьма общее преобразование к безразмерным (штрихованным) переменным:

где безразмерные положительные параметры, зависящие только от

Поскольку новые зависимые переменные определены как возмущения состояния равновесия впереди ударной волны, условие малой амплитуды означает, что все параметры малы. Однако мы откажемся от обычного предположения о том, что все они равны или являются степенями или вообще заданы каким-то заранее определенным способом.

Даже при столь общем преобразовании растяжения возникают некоторые ограничения, прежде всего в отношении независимых переменных. Нет никаких оснований считать априори, что единственного масштаба длины должно быть достаточно для характеристики всего ударного перехода. Одного масштаба достаточно для описания разрывов в классической газодинамике, но, как мы увидим ниже, для ударных волн в плазме это не всегда так, и в общем случае учет дисперсии приводит к задачам с многими масштабами, что видно и из большинства других глав этой книги. Полезно попытаться исследовать эти масштабы отдельно один за другим, причем для случая слабых ударных волн в плазме нам будет вполне достаточно трудностей, связанных и с одним масштабом. Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением головной части волны, включающей лишь ее

передний фронт и такую область за ним, которая характеризуется одним масштабом длины.

Это означает, что граничные условия на «хвосте» волны, определяющие равновесное состояние плазмы позади переходного слоя, в нашем анализе не могут быть, вообще говоря, удовлетворены. Оказывается, однако, что возникающая при этом неединственность не будет служить препятствием для нахождения правильного результата для головной части волны.

С другой стороны, одно общее свойство масштаба длины для головной части волны можно предсказать априори. Анализ линеаризованных уравнений дает такое дисперсионное соотношение [9], из которого следует, что скорость волн растет с их длиной, поэтому фронт ударной волны формируют именно длинные волны по мере того, как с ростом времени он приближается к стационарному состоянию. Таким образом, можно предполагать, что пространственный масштаб головной части волны будет расти до значения, много большего, чем так что также будет малым параметром, и это предположение позволяет нам уменьшить объем работы.

Нельзя ожидать, что поведение всего ударного перехода можно охватить одним временным масштабом, но наше внимание будет сосредоточено на описании головной части волны на последней, почти стационарной, стадии ее развития. Поэтому входящий в (6) масштаб следует считать наименьшим подходящим масштабом времени, характеризующим процесс на этой стадии. Вместе с тем естественной характеристикой, обычной (ни большой, ни малой) нестационарности в физике служит масштаб времени, равный отношению подходящих масштабов длины и скорости. Квазистационарность означает, следовательно, что иными словами, что также малый параметр.

Итак, приведенные выше рассуждения показывают, что

Это следует из постановки задачи для всех параметров, за исключением для которого соотношение (7) отчасти является предположением, основанным на свойствах дисперсионного соотношения.

Заметим, что ограничение одним масштабом времени, во обще говоря, делает невозможной постановку обычной задачи с начальными условиями. Возникающая при этом определенная степень неединственности не является непреодолимым препятствием. Фактически начальные условия для ударных волн в бесстолкновительной плазме в условиях эксперимента обычно

не могут быть определены точно и, в сущности, выходят за рамки наблюдений. (Добавим, что экспериментаторы могут сделать аналогичные замечания относительно многих физических явлений.) Подходя к тому же вопросу с другой стороны, специалисты по прикладной математике склонны считать наиболее естественными начальными условиями при отыскании переходных решений системы (1) — (4) простые ступенчатые распределения величин Однако это, конечно, прямо противоположно естественному с точки зрения физики распределению и скорее должно рассматриваться как каноническое начальное условие, основанное на неявном предположении о том, что полученное из него решение характерно и для физически наблюдаемых решений (получающихся из каких-то реальных начальных условий, которые, вероятно, существенно отличаются от ступенчатой функции). Короче говоря, использование канонических (а не измеряемых) начальных условий означает если не утверждение, то предположение о том, что главные свойства решения при больших значениях времени, которые нас интересуют в первую очередь, не зависят от вида начальных условий. Во всяком случае, самое честное, что можно сделать, — это рассматривать вопрос о том, какие решения могут возникать, не связывая их с определенными начальными условиями; этот путь мы и выберем ниже.

Итак, время входит в данную задачу только через дифференциальные операторы в законах сохранения (2), (3) и единственный смысл введения большого масштаба времени состоит в том, что появится малый параметр

характеризующий производные по безразмерному времени в головной части волны на интересующем нас интервале времени. Таким образом, прямые асимптотики для больших значений времени заменены асимптотиками, соответствующими той стадии, на которой решение уже достаточно близко к стационарному. В некоторых отношениях результаты, полученные ниже, оказываются достаточно детальными для того, чтобы прояснить вопрос об истинных временных асимптотиках. Однако, во всяком случае, основная физическая цель нашего анализа связана с квазистационарностью (в ссылках на временные асимптотики в разд. 2 стандартная терминология используется только ради удобства).

Отказ от использования в явном виде начальных условий также увеличивает гибкость преобразования (6), так как начало отсчета времени можно выбрать уже на поздней стадии развития ударной волны, когда временной масштаб действительно станет уже наименьшим масштабом изменения

величин в головной части волны. Добавим, что проводимый далее анализ охватывает большие интервалы времени, а именно любой конечный интервал изменения переменной

Наконец, как ясно из соображений размерности, скорость распространения должна быть связана с альфвеновской скоростью (см. гл. равной

В действительности отношение по определению должно быть положительным (см. разд. 4) и ограниченным, так как плазма предполагается нерелятивистской, и если бы скорость не стремилась к определенному пределу при то предел бесконечно малой амплитуды следовало бы считать физически недопустимым. Таким образом, можно записать