2. Уравнения взаимодействия

Рассмотрим теперь динамику резонансного взаимодействия трех гармонических волн. Положим

где . Отметим, что функция должна быть действительной величиной. Амплитуды волн а могут медленно меняться во времени, и именно это изменение мы будем исследовать, подставляя решение предполагаемого вида в (5).

После такой подстановки действие линейного оператора на экспоненциальные члены дает нуль, так как волновые числа и частоты удовлетворяют дисперсионному соотношению, соответствующему (1). При действии линейного оператора на а первые производные а по времени будут порядка вторые — порядка и т. д. В правой же части квадратичные члены будут давать суммы и разности рассматриваемых волновых чисел и частот, и если, например, выполняются резонансные соотношения

то член в левой части, пропорциональный изменяется в пространстве и времени так же, как и член в правой части, пропорциональный Эти члены можно выделить, умножая все уравнения на комплексно сопряженные им величины и усредняя на интервале, равном целому числу длин

волн. Таким способом получают динамические уравнения, определяющие скорость изменения во времени трех рассматриваемых амплитуд. В низшем порядке по для а получаем уравнения вида

Это и есть уравнения взаимодействия резонансной тройки, более строго выведенные Брезертоном . В общем случае константы завися от направлений волновых векторов и от того, каков конкретный тип взаимодействующих волн. В конкретных задачах вычисление этих коэффициентов взаимодействия описанным здесь методом элементарной подстановки часто связано с весьма громоздкими алгебраическими выкладками. Намного проще, хотя и менее очевиден, способ получения коэффициентов взаимодействия с помощью усредненного лагранжиана Уизема (гл. V); пример такого вывода дан в важной работе Симмонса [2].

Уравнения взаимодействия (10) имеют два независимых интеграла. Из первых двух уравнений имеем

следовательно,

где -начальное значение Общее решение может быть выражено через эллиптические функции Якоби [1, 3]. Однако ряд интересных и важных свойств решения можно выяснить более простым путем.

Можно считать, что интегралы (11) описывают перераспределение энергии между гремя взаимодействующими Компонентами. Величины пропорциональны плотности энергии волны; Брезертон показал, что если величина такова, что коэффициент пропорциональности — просто число, то коэффициенты взаимодействия пропорциональны частотам которые удовлетворяют резонансному условию (9). Так как из (9) следует

Фиг. VII. 3. Схема изменения распределения энергии между волнами взаимодействующей тройки волн. Вначале энергия распределена между волнами 2 и 3; по мере роста волны 1 она отбирается от них до тех пор, пока волиа 2 не иссякнет. В отсутствие диссипации этот процесс циклически повторяется.

то по крайней мере одна из частот, определяемых таким образом, должна быть отрицательна. Следовательно, по крайней мере один из коэффициентов также должен быть отрицателен. Предположим, что это Тогда, если плотность энергии волны 1 в некоторый момент возрастает, то суммарная плотность энергии двух других волн должна уменьшаться. В общем случае решения для амплитуд волн оказываются периодическими, причем период равен произведению на характерный период волны. Разумеется, суммарная плотность энергии всех трех волн сохраняется. Перераспределение плотности энергии между волнами со временем показано на фиг. VII. 3. В данном примере начальная амплитуда волны 1 равна нулю, так что из (10) следует

При этом компонента 1 вначале растет по линейному закону:

а плотность ее энергии возрастает квадратично:

При таких начальных условиях плотность энергии волны 1 растет за счет двух других волн до тех пор, пока энергия какой-либо из этих двух волн не будет исчерпана. На этой стадии плотность энергии первой волны перестает расти и начинает уменьшаться до тех пор, пока «истощенная» волна не

восстанавливаетея, после чего энергии волн возвращаются к начальным значениям.

Другое интересное следствие этих уравнений при отличных от нуля коэффициентах взаимодействия состоит в том, что если волна может участвовать в подобном резонансном взаимодействии, то она неустойчива по отношению к возмущениям в виде двух других волн из резонансной тройки. Это обстоятельство отмечалось в [4].

Примеры квадратичных взаимодействий исследовались с самых различных сторон. Мак-Голдрик показал [5], что чисто синусоидальная капиллярно-гравитационная волна конечной амплитуды с волновым числом не может распространяться в невязкой жидкости неопределенно долго, а передает энергию своей собственной второй гармонике. Решение линеаризованной задачи можно рассматривать как теоретически возможное состояние динамического равновесия, но фактически это состояние неустойчиво в следующем приближении. Такой эффект возникает при наличии минимума фазовой скорости, что и имеет место для капиллярно-гравитационных волн. Для указанного выше конкретного волнового числа вторая гармоника основной волны соответствует собственной волне, распространяющейся с той же скоростью, но обладающей волновым вектором, в два раза большим, чем у основной волны. Неустойчивость этой волны демонстрировалась в ряде очень четких экспериментов, показывающих убывание амплитуды основной волны и начальное «усиление» второй гармоники, сменяющееся затем затуханием вследствие молекулярной вязкости.

В работе [6] было рассмотрено распространение внутренних гравитационных волн в однородно-стратифицированной жидкости, в которой присутствуют слабые периодические вертикальные изменения поля горизонтальных течений. Их можно рассматривать как предельный случай внутренних гравитационных волн, когда частота волны стремится к нулю, а направление волнового вектора — к вертикальному. Если этот волновой вектор обозначить через то волновые векторы (фиг. VII.4) вместе с образуют равнобедренный треугольник и удовлетворяют резонансным условиям

так как а частоты волн 2 и 3 равны, поскольку равны углы их наклона к вертикали. Однако в этом случае при вычислении коэффициентов взаимодействия оказывается, что а причем обмен энергией с установившимся течением вообще отсутствует. Оно лишь служит в известном смысле «катализатором», стимулирующим обмен между наклонными компонентами.

Фиг. VII. 4. Резонансная триада для внутренних гравитационных воли.

Следовательно, этот профиль течения приводит к рассеянию внутренней волны такого рода, в то время как сам профиль не изменяется.

Другой пример, представляющий большой интерес для океанологии, исследовался экспериментально. В большой ванне с размытым термоклином могут существовать различные моды внутренних гравитационных волн; Мартин, Симмонс и Вунш [7] показали, что среди этих мод имеется много триад, для которых с хорошей точностью выполняются резонансные условия.