7. Сравнение законов сохранения действия и энергии

Может возникнуть очевидный вопрос: почему следует вводить сравнительно непривычное понятие действия, определенного только для семейства решений, вместо более знакомого понятия энергии? Энергия сохраняется в физических системах, и ее можно определить для отдельного решения. Усредненную по фазе энергию можно использовать вместо действия во многих случаях, в частности если среда стационарна, т. е.

Наиболее наглядно ограничения применимости концепции сохранения энергии для волн проявляются в гидродинамике и физике плазмы. В этих случаях невозмущенная среда в отсутствие волн сама описывается решением уравнений движения, которые могут быть отнюдь не тривиальными. Полная энергия невозмущенной системы может быть бесконечной. Во всяком случае, волны следует рассматривать как возмущения, для которых нужно знать возмущенный лагранжиан, приводящий к соответствующим уравнениям движения для возмущений, которым эти волны удовлетворяют. Энергия или действие, используемые при изучении волн, должны характеризовать эти волны, и их следует определять как понятия, относящиеся к возмущенным величинам. Однако энергия возмущения сохраняется только тогда, когда невозмущенное решение стационарно.

Чтобы использовать закон сохранения энергии для волн, нужно усреднить плотность энергии по фазе.

В сущности, различие между усреднениями по фазе и по фазовому сдвигу мало, так что и задачи, и приближения для обеих процедур почти одинаковы. Нет никаких преимуществ в том, что энергию можно определить для отдельного решения вместо семейства решений.

Если произвести преобразование Галилея со скоростью то величины А и не меняются, в то время как к добавляются слагаемые и Энергия, определенная как гамильтониан, не подчиняется этому простому правилу. Такое поведение гамильтониана можно было предвидеть. Действительно, применение преобразования Галилея к стационарной среде с плавной неоднородностью, в которой энергия сохраняется, приводит, вообще говоря, к нестационарной среде, в которой энергия не сохраняется.

Уравнения движения физической системы не меняются при добавлении к лагранжиану члена, равного производной по времени или декартовым координатам произвольной функции вида Такие преобразования, называемые калибровочными, допустимы, так как они не вносят реальных изменений в задачу. Плотность и поток действия являются ивариантами таких преобразований, а плотность и поток энергии (гамильтониана) таковыми не являются.

В соответствии с общим «философским» правилом физики и прикладной математики полезно изучать следствия различных видов преобразований и величины, остающиеся при этом инвариантными, считать более фундаментальными. Для волн это правило указывает на то, что действие является более фундаментальной величиной, чем энергия.