3. Метод ВКБ для нелинейных уравнений

Рассмотрим одну из форм уравнения КДВ, представляющих физический интерес и потому интенсивно изучавшихся:

где — малый параметр, зависящий от различных физических факторов. С помощью численных методов были получены решения этого уравнения на конечном интервале для различных значений Одна из практических трудностей при получении таких решений состоит в том, что, если становится все меньше и меньше, пространственные осцилляции решения становятся все более короткими, и для достаточно точного описания поведения решения в пространстве возникает необходимость в увеличении числа шагов. Это в свою очередь влияет на такие факторы, как устойчивость схемы численного счета, и в результате ограничивает интервал времени, на котором может быть получено решение. Чтобы преодолеть эти трудности, Крускал и Забуский [4] использовали тот факт, что при малых решения становятся близкими к периодическим, и развили метод анализа таких нелинейных волн. (Под термином «близкий к периодическому» мы понимаем следующее: изменения амплитуды и длины волны становятся малы, порядка на большом числе осцилляций решения; не следует путать эти решения с «почти периодическими» функциями.) Указанный метод возникает как естественное нелинейное обобщение обычного линейного

метода ВКБ и аналогичен методу усреднения Уизема [29—32] (см. гл. V этой книги) и Льюка [33]. (Здесь этот метод не называется методом усреднения, поскольку, хотя усреднение и является его существенной частью, оно никоим образом не исчерпывает его содержания.) Мы будем рассматривать основные идеи метода и сформулируем лишь несколько результатов (подробнее см. [34]).

Как известно, линейный метод ВКБ позволяет получать приближенные решения, близкие к периодическим, для линейного дифференциального уравнения в обыкновенных производных:

где мало изменяется на достаточно большом числе осцилляций решения [сходство выражений (35) и (16) чисто случайное]. В методе ВКБ предполагается, что решение имеет вид

где должны быть определены. Введя две функции вместо мы имеем свободу в выборе одного произвольного соотношения между ними.

Обобщим теперь идеи метода ВКБ на случай близких к периодическим по решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Из-за нелинейности мы не можем ожидать, что решение имеет простую экспоненциальную форму, и вместо этого используем представление в виде ряда

где Здесь явная зависимость от соответствует зависимости от а зависимость от обобщает показательную функцию в (36). Одна важная нерешенная проблема состоит в том, чтобы установить, в каком смысле ряд в правой части выражения (37) приближенно представляет действительное решение

Представление в виде ряда (37) имеет весьма общий характер, но, использовав два элемента из метода ВКБ: периодичность и одно произвольное соотношение между его параметрами, мы достигнем значительных упрощений. Предположим, что функция строго периодична по т. е. «угловая» переменная, и выберем наше свободное условие так, чтобы период по был единичным, т. е.

Не зная зависимости от мы рассматриваем как дополнительную независимую переменную и позднее найдем ее зависимость от

Фиг. VIII. 3. Определение и из расширенного решения.

Эта процедура, которую Сандри [35] назвал «методом расширения», по существу, соответствует методу многих масштабов, используемому в гл. IV и особенно в гл. V, разд. 8. Для иллюстрации на фиг. VIII. 3 показана поверхность, соответствующая решению зависящему от переменных (для простоты зависимость от здесь опущена). Одна из целей метода состоит в определении тогда решение исходной задачи соответствует кривой, получаемой пересечением поверхностей

3а. Формулировка метода

Чтобы применить нелинейный метод ВКБ к уравнению КДВ, выберем сначала зависимость от таким образом, чтобы в первом приближении сделать как можно меньше ограничении по отношению к исходным уравнениям [36]. При этом все члены в уравнении КДВ должны оставаться одинаково существенными, в частности нелинейный и дисперсионный члены должны быть одного порядка. Поэтому мы предполагаем, что

где дается формальным степенным рядом по Таким ббразом, если В изменяется на конечную величину, то меняется быстро. Наша цель, следовательно, состоит в том, чтобы

получить в виде формальных степенных рядов по

Для завершения формулировки этой расширенной задачи мы выведем уравнение для Тот факт, что в этом уравнении будут появляться только частные производные по указывает на произвольность выбора начала отсчета (нуля) Поэтому мы считаем

не зависящими от Дифференциальные операторы теперь принимают вид

Подстановка этих новых операторов в (34) и умножение на приводит к «расширенному» уравнению КДВ:

Подставляя (37) в (41) и оставляя только члены нулевого порядка, мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для как функции

где основные члены в формальных разложениях функций

Важно отметить, что в пределе мы получаем (42), а не уравнение вида как это получается для уравнения Бюргерса и в других задачах с диссипацией, включая ударные волны. Здесь дисперсионный член оказывается членом основного порядка, что приводит к некоторым интересным результатам.

При получаем обыкновенные линейные дифференциальные уравнения для

где

Заметим, что неоднородные члены содержат только известные решения низшего порядка.

Чтобы определить зависимость от мы используем условия совместности, обеспечивающие существование решений высших порядков для неоднородного уравнения (43). При 1 эти условия сводятся к требованию ортогональности неоднородного члена собственным функциям, соответствующим нулевому собственному значению сопряженного оператора определяемого следующим образом:

Единственные периодические решения, соответствующие нулевому собственному значению, это и они приводят к двум уравнениям, усредненным по и содержащим только производные по Третье линейно независимое решение не является периодическим и не используется при выводе усредненного уравнения.

3б. Задача нулевого приближения

Уравнение (42) можно решить в явном виде относительно как функции (здесь и далее верхний индекс будет опущен, так как мы рассматриваем задачу только в нулевом приближении). Интегрируя (42) по умножая на и снова интегрируя, приходим к уравнению

где «константы» интегрирования, зависящие от Требование периодичности по накладывает на величины определенные ограничения, которые, однако, здесь не формулируются. После некоторых преобразований получаем

где эллиптическая функция Якоби, иолный эллиптический интеграл 1 рода,

и, наконец, с — корни уравнения (45) при (см. гл. IV, п. 3в). Все величины в правой части (46) — функции которые в свою очередь зависят от Для определения зависимости от удобно ввести усредненные переменные

где Два усредненных уравнения совместности не образуют замкнутой системы; необходимо ввести третье усредненное уравнение, дополняющее их. Это уравнение получается путем усреднения третьего закона сохранения, в котором сохраняющаяся плотность содержит Мы получаем следующую замкнутую, но весьма сложную систему квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных относительно усредненных переменных

где

Эта система инвариантна относительно смены знака а также относительно преобразования Галилея. Более того, с помощью ряда алгебраических выкладок можно показать, что эта система гиперболична. Оказывается, что условия, приводящие к гиперболичности, в точности совпадают с условиями существования трех действительных корней уравнения (45) при Несомненно, это не простое совпадение, однако связь между ними остается невыясненной.

3в. Возможность разрывов

Один из вопросов, относящихся к данной системе уравнений, состоит в том, существуют у нее разрывы или нет. Вычисление скачков величин на разрыве приводит к выводу, что величина скачков равна нулю. Этот на первый взгляд негативный результат не исключает, однако, возможности непрерывного перехода от одного состояния к другому, если каждое из этих состояний характеризуется постоянными значениями усредненных величин. Как показано на фиг. VIII.4, два однородных состояния со средними могут быть соединены осциллирующей переходной областью. Слева от этой области переход сопровождается малыми осцилляциями, которые, по

Фиг.

существу, представляют собой линейные синусоидальные волны, распространяющиеся на среднем уровне Справа же переход содержит большие осцилляции. Было замечено, что в численных решениях солитоны всегда появляются справа и, следовательно, осцилляцию, ограничивающую переходную область справа, в пределе можно интерпретировать как солитон. «Усреднение» по периоду этой крайней осцилляции приводит к предельному значению так как солитон имеет бесконечный период.

Поскольку при переходе к однородным состояниям усредненные величины непрерывны, то «разрывы», интепретируемые теперь как места, в которых структура решения резко меняется, имеют нулевую величину. С другой стороны, если вся осцилляторная переходная область отождествляется со структурой разрыва, то, как следует из численных решений, ширина разрывов всегда неограниченно возрастает со временем при сколь угодно малых Следовательно, «разрыв» может быть ограничен малой областью, как в диссипативных системах, что снова подтверждает выводы гл. II, разд. 3. Аналогичные результаты докладывались Яджимой и др. [37] для другого нелинейного уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)