2. Фурье-синтез и асимптотическое поведение

Формально общее решение получают из решения (1) с учетом дисперсионного соотношения (2) следующим образом:

здесь -некоторое частное решение дисперсионного уравнения (2). Полное решение представляет собой сумму членов, подобных (25), с одним интегралом для каждого из решений уравнения (2). Произвольные функции определяются из соответствующих начальных или граничных условий.

Эти фурье-интегралы дают точные решения, но обычно довольно трудно выяснить их физическое содержание, и для последующего обобщения на нелинейные задачи мы попытаемся найти другие пути.

Чтобы понять основные свойства волн с дисперсией, начнем с рассмотрения асимптотического поведения решений при больших Для этого изложим здесь некоторые из результатов, полученных в гл. II. Нас интересуют бегущие волновые возмущения, зависящие от при различных с. Таким образом, рассмотрим асимптотическое поведение решения (25), когда но отношение остается постоянным. Запишем решение (25) в виде

где

В нашем случае является фиксированным параметром и имеется только зависимость величины от Интеграл в (26) можно исследовать, применяя метод стационарной фазы; в сущности, мы имеем здесь ту же задачу, для которой Кельвин и развил этот метод. Он доказал, что для больших значений основной вклад в интеграл дает окрестность стационарных точек определяемых уравнением

Вне этой окрестности подынтегральная функция быстро осциллирует и дает лишь незначительный вклад в интеграл. Метод стационарной фазы и связанный с ним метод наискорейшего спуска, который проще использовать для построения полного асимптотического разложения, теперь являются стандартными. Первый член в асимптотическом решении имеет вид

В данном выражении следует считать функцией определяемой из (28), причем мы опустили нижний индекс 0.

Выражение (29) играет важную роль, поскольку его можно записать так же, как и решение (1), в виде

с тем существенным отличием, что величина а, а также теперь не являются постоянными. Действительно, поскольку

из уравнения (28) имеем

Таким образом, имеют по-прежнему смысл волнового числа и частоты, но они не являются больше постоянными. В любой точке они дают «локальное» волновое число и «локальную» частоту. Они по-прежнему связаны дисперсионным соотношением, а их изменения по определяются формулой (28). Ясное истолкование этой формулы связано с вопросом: как должен двигаться наблюдатель, если он хочет следить только за одним конкретным значением локального волнового числа? Ответ состоит в том, что ему следует придерживаться траектории

Таким образом, наблюдатель должен двигаться с постоянной скоростью это и есть групповая скорость. Полученный важный результат можно сформулировать в виде утверждения, что локальные волновые числа распространяются с групповой скоростью. Напротив, для того чтобы некоторая фаза например положение гребня, оставалась постоянной для наблюдателя, он должен двигаться с фазовой скоростью где определяется из равенства

и эта фазовая скорость не является постоянной. Различие между групповой и фазовой скоростями весьма существенно, и первая из них играет основную роль.

Комплексная амплитуда в выражении (30) записывается в виде

Величина связана с плотностью энергии, а из выражения (33) следует важный вывод о сохранении этой величины. Рассмотрим функцию

В последнем интеграле определяется выражением (28). Поскольку подынтегральная функция зависит явно от а от явной зависимости нет, то естественно ввести в качестве новой переменной интегрирования с помощью преобразования

В случае мы имеем

здесь определяются формулами

Если то пределы интегрирования меняются местами. Таким образом, если величины поддерживаются постоянными, то с течением времени сохраняется. В соответствии с выражениями (35) точки и при этом движутся с соответствующими групповыми скоростями. Следовательно, мы показали, что полная величина заключенная между точками, движущимися с групповыми скоростями, остается неизменной. В этом смысле «энергия» распространяется с групповой скоростью. Расстояние между точками [см. (35)] растет пропорционально следовательно, убывает как Соотношение между и истинной плотностью энергии мы рассмотрим ниже.

Замечательно, что полученные здесь важные результаты зависят только от дисперсионного соотношения и в особенности от выражения для групповой скорости. Ясно, что спектральный анализ здесь ни при чем, и можно надеяться, что аналогичные результаты можно получить и в нелинейных задачах. Вернемся теперь к обсуждению этих вопросов.

Основная предпосылка при интерпретации полученных выше асимптотических решений состоит в осознании того факта, что они соответствуют «медленно меняющимся» волновым пакетам. Асимптотическое решение (30) совпадает с выражением для периодической волны (1), но параметры в выражении (30) не являются больше постоянными. Однако они медленно меняются в том смысле, что их относительные изменения на одной длине волны или одном периоде малы. Это нетрудно показать с помощью выражений (28) и (33). Из (28) следует, что

(аналогичные формулы получаются для а из (33) имеем

(аналогичное выражение получается для поскольку асимптотическое разложение справедливо при и фиксированном то эти величины малы.

Учитывая сказанное, рассмотрим медленно меняющиеся волновые пакеты с более общей точки зрения. Идея состоит в том, чтобы, исходя из периодической волны, будь она линейной или нелинейной, обобщить это решение так, чтобы параметры а и возможные любые другие параметры могли медленно меняться, и найти способ непосредственного получения уравнений для этих медленно меняющихся параметров. Под «медленными вариациями» мы подразумеваем, что относительные изменения на одной длине волны и одном периоде малы. Медленные вариации могут быть введены иначе, чем в обсуждавшемся выше асимптотическом решении. В частности, представляет интерес рассмотреть задачу о волнах от источника квазипериодических (медленно модулированных) колебаний или задачу о распространении волны в неоднородной среде, свойства которой медленно меняются в пространстве или времени. В этих случаях малый параметр характеризующий медленность изменений, связан с граничными условиями или параметрами уравнений, тогда как в случае, обсуждавшемся выше, малым параметром было отношение характерного периода колебаний к времени

В дальнейшем изложении мы вначале воспользуемся эвристическим подходом, позволяющим развить соответствующие методы и получить конкретные результаты. В разд. 8 мы рассмотрим обоснование этого подхода с помощью формальной теории возмущений.