6. Волны

Волны рассматриваются здесь как колебания сплошных сред, описываемые периодическими по фазовой переменной решениями уравнений динамики. Фаза является функцией переменных «в пространстве распространения», которое, вообще говоря, не совпадает с физическим пространством Мы считаем, что физическое пространство можно представить в виде произведения «пространства распространения» и «поперечного пространства»

Если среда стационарна и однородна, т. е. лагранжиан не зависит явно от то можно ожидать существования решений, строго периодических по (с периодом где имеет вид

Эти решения по форме аналогичны строго периодическим решениям вида (10), (11) для дискретных систем. Они соответствуют

плоским (в пространстве распространения) волнам с волновым вектором k.

В более общем случае, особенно когда параметры среды медленно изменяются (плотность лагранжиана явно зависит от фаза может быть более сложной функцией Определим частоту и волновой вектор к соотношениями

Определенные таким образом частота и волновой вектор должны подчиняться условию совместности

По Уизему, это уравнение выражает сохранение числа гребней волны. Оно имеет вид векторного уравнения сохранения с плотностью к и потоком где I — единичный тензор.

Если поперечное пространство — точка, так что пространство распространения совпадает с физическим пространством, то волновые решения относят к локальному типу. Если поперечное пространство нетривиально, то необходимо различать два случая: 1) заданы однородные граничные условия на фиксированной границе в поперечном пространстве или соответствующие условия убывания на бесконечности, если поперечное пространство не ограничено; при этом волны относят к модовому типу; 2) такие условия либо отсутствуют совсем, либо они применимы лишь частично; в этом случае говорят о волнах общего типа.

Главное различие состоит в том, что в модовом случае возникает задача о собственных функциях и собственных значениях, подходящие решения которой существуют не при любых значениях к и амплитуды. Волны локального и модового видов называют плоскими, или прогрессивными, волнами в том смысле, что они приблизительно плоские в пространстве распространения.

Для волн любого типа приближенная периодичность по фазе О допускает построение семейства приближенных решений, различающихся только сдвигом фазы. Можно определить плотность действия А и его поток В в физическом пространстве (с такими же ошибками определения, как и в дискретном случае), подчиняющиеся основному закону сохранения (24).

Для стационарной однородной среды существуют решения локального и модового типов в виде строго периодических функций фазы, определяемой выражением (26). Эти решения аналогичны рассмотренным в разд. 3, и для них могут быть

получены соответствующие результаты. Аналог обобщенного закона о равномерном распределении (13) имеет вид

В линейном случае, когда лагранжиан квадратичен по и их производным, это означает, что . В случае модовых волн для доказательства (29) нужно воспользоваться соответствующими граничными условиями. Другой результат:

немедленно следует из (24), если учесть, что не зависят от

Определим плотность действия и его поток в пространстве распространения следующим образом:

Аналогом уравнения (34) здесь служит нелинейное дисперсионное соотношение

т. е. в аналоге соотношения (15) наряду с зависимостью от -появляется зависимость от k. В теории Уизема (см. гл. V) соотношение, эквивалентное (32), имеет вид

а совпадает с Для систем с медленно меняющимися параметрами решения вновь считаются близкими к строго периодическим решениям уравнений однородной среды. Уравнение сохранения (24), проинтегрированное по поперечному пространству, дает основной закон сохранения в пространстве распространения:

Если определить из (31) для однопараметрического семейства точных решений, то уравнение (33) будет точным законом сохранения. Как и в случае дискретных систем, ошибки, появляющиеся при использовании уравнения (33), связаны в

первую очередь с представимостью решения в периодической форме. При этом соответствуют плотности и потоку адиабатического инварианта для волновой системы.

По сравнению с дискретными системами в сплошных средах существует большее число разнообразных случаев «патологического» поведения. Однако во многих случаях волновое решение в бесконечном пространстве распространения имеет тенденцию при больших значениях времени делиться на волновые пакеты, каждый из которых можно описать более или менее индивидуально. Тогда определенное вначале полное действие будет при больших значениях равно сумме действий волновых пакетов.

В нашем рассмотрении волнового действия не учитываются особенности, которые Уизем (см. гл. V) связывает с «потенциальными» зависимыми переменными т. е. с такими, которые входят в лагранжиан только через свои производные Они требуют несколько особого рассмотрения. Такие переменные могут быть важны, например, в механике сплошных сред, когда существенно взаимодействие между волнами и средними потоками в среде.