3. Нелинейные волновые уравнения
Рассмотрим нелинейные волновые уравнения вида
где 
положительный потенциал. Введем обозначение
Мы будем изучать комплексные решения этого уравнения.
Для определенного класса потенциалов известно, что все решения уравнения (45) равномерно стремятся к нулю по максимуму нормы при 
Уравнение, которому удовлетворяют такие решения при больших 
весьма близко к линейному, а именно к уравнению
Моравец и Штраусе [10] показали, что при 
такие решения стремятся асимптотически к паре решений линейного уравнения (46). В этом разделе мы воспроизведем очень простые аргументы Роффмана [11], который показал, что для определенных потенциалов существуют такие решения, которые не стремятся к нулю по максимуму нормы при 
следовательно, не ведут себя при больших как решения линейного уравнения (46).
Теорема 3. Обозначим через 
интеграл от 
Предположим, что существует такое значение 
что
Тогда уравнение (45) имеет также решения и, для которых
при любом 
Доказательство Роффмана основывается на соотношении между двумя классическими инвариантными функционалами уравнения (45): энергией 
и зарядом 
определяемым следующим образом:
где 
функция, комплексно сопряженная и. Из (47) следует, что если
то
где 
при 
Из неравенства Шварца вытекает
Используя определение 
и неравенство (50), мы заключаем, что если выполняется неравенство (50), то
Рассмотрим следующие начальные данные:
Очевидно, что если выполняется неравенство (48), то для достаточно больших 
где 
— заряд и энергия, соответствующие этим начальным данным. Теперь ясно, что для достаточно малых 
и достаточно малых 
выполняется (49), то отсюда следует, что решение и при начальных данных (52), (53) не удовлетворяет (49) при достаточно малых 
для любого значения 
Это и является доказательством теоремы 3.
