7. Нелинейная групповая скорость. Устойчивость периодических волн

В линейных задачах групповая скорость представляет собой характеристическую скорость для уравнения (64) и появляется при вычислении зависимости Если же известно, то она возникает вторично как характеристическая скорость при решении уравнения (63) [или (72)] для . В нелинейных задачах уравнения (63) и (64) для оказываются взаимосвязанными. Если они образуют систему гиперболических уравнений, то естественно будет расширить определение групповой скорости, включив в него характеристические скорости этой системы. В нелинейных задачах обе характеристические скорости уже не равны друг другу, что приводит к существенным особенностям при распространении модуляции вдоль волны. Для нелинейных волн первоначально локализованное возмущение должно в конечном счете расщепиться на два. Было бы чрезвычайно интересно попытаться наблюдать этот эффект экспериментально.

Если уравнения (63) и (64) являются эллиптическими, то нетрудно показать, что возмущения по растут экспоненциально со временем. Это свидетельствует о том, что периодическая волна сама по себе неустойчива. Одновременно с развитием данной теории Бенджамен [9] независимо пришел к выводу о том, что волны на глубокой воде неустойчивы в рассмотренном выше смысле. Заметив, что возбуждаемые в экспериментах периодические волны всегда оказываются неустойчивыми на расстояниях в несколько длин волн от генератора, Бенджамен убедительно объяснил такую «модуляционную» неустойчивость с помощью уравнений во втором приближении (по нелинейности) для боковых компонент в спектре волны. Изложенный здесь метод был затем использован для исследования волн умеренной амплитуды, возникающих на поверхности воды с конечной глубиной . Было найдено, что соответствующие уравнения являются эллиптическими при и гиперболическими при Таким образом, если то волны конечной амплитуды на поверхности воды должны быть неустойчивы.

В случае когда имеются только параметры анализ волны конечной амплитуды весьма прост; наличие таких параметров, как и обсуждавшихся в разд. 6, усложняет задачу. Волны на глубокой воде зависят только от параметров но в случае конечной глубины требуются дополнительные параметры, которым срответствуют небольшие, но играющие важную роль изменений средней глубины и среднего потока массы,

вызванные волнами. Рассмотрим здесь более простой случай. подобных задачах, когда амплитуда волны не слишком велика, связь между уравнениями (63) и (64) проявляется главным образом через зависимость от а, определяемую дисперсионным соотношением. Если его записать (в первом порядке по в виде

то оказывается, что достаточно использовать уравнение (64)

и оставить уравнение (72), соответствующее линейному приближению:

Простой расчет показывает, что характеристические скорости даются выражением

Если то двукратно вырожденная в линейном случае характеристическая скорость Со расщепляется на два различных действительных значения, определяемых выражением (90) (т. е. мы имеем систему гиперболических уравнений), которое дает две нелинейные групповые скорости. Если же то мы имеем систему эллиптических уравнений и волна оказывается неустойчивой. Для волн на глубокой воде

следовательно, здесь и соответствующая волна является неустойчивой. В работах [1, 10] приводится более детальный анализ, а таяже связь с теорией Бенджамена.