4. Критерии истинности для обобщенных решений

Было предложено множество критериев для выделения «истинного» решения из множества обобщенных решений начальной задачи, поставленной для заданного закона сохранения. Некоторые из этих критериев по своей природе являются математическими, будучи связаны со свойствами гладкости или устойчивости решения; другие отражают требование, чтобы

«истинные» решения имели разумную интерпретацию в рамках той физической теории, из которой они получены. В идеальном случае различные критерии должны быть эквивалентными.

4а. Критерий энтропии

«Энтропийное» условие, связанное с законом сохранения (1), — это неравенство

которое должно удовлетворяться любым «истинным» решением уравнения (1) для любого интервала времени и любой гладкой области в пространстве. Энтропия производство энтропии и поток энтропии определяются вектором и через известные дифференцируемые определяющие уравнения

аналогичные по характеру уравнениям (2).

Повторение анализа, проведенного в разд. 1 и п. 36, показывает, что в классе кусочно гладких полей и (с ударными волнами) неравенство (31) эквивалентно дифференциальному неравенству

которое должно быть справедливо в каждой области гладкости, и условию на скачке

на каждом разрыве.

Обычно определяющие соотношения (32) выбираются такими, что (33) автоматически выполняется всюду, где справедливо (3). Однако, как мы видели в п. 36, это не обязательно означает, что (34) также удовлетворяется. Энтропийное неравенство, известное в газовой динамике и общей термодинамике сплошных сред, послужило образцом при формулировке «энтропийного» критерия.

В случае уравнения (15) соответствующие определяющие уравнения для «энтропийного» условия имеют вид

где -некоторая возрастающая функция. При таком выборе неравенство (33) запишется в форме

следовательно, будет автоматически удовлетворено (как равенство), если только справедливо (15). На разрыве же если пределы и слева и справа соответственно) условие (34) дает

где Легко показать, что если строго выпуклая (строго вогнутая) функция, то условие (36) обращается в равенство при Таким образом, решение (27) уравнения (23) «истинно», а (29) нет. Подробный анализ энтропийного критерия можно найти в работе Лэкса [4] и в цитируемых им статьях.

К сожалению, для систем, не являющихся истинно нелинейными, энтропийный критерий недостаточно эффективен, чтобы исключить все неприемлемые решения. Поэтому Лейбович и автор главы предложили альтернативный критерий скорости роста энтропии. Допустим, что Рассмотрим некоторое обобщенное решение уравнения (3), которое при достаточно быстро спадает к нулю. Тогда полная энтропия

конечна и, согласно (31), возрастает со временем Назовем решение «истинным», если при каждом скорость роста энтропии т. е. производная от Ни справа при больше или равна той же величине для любого другого обобщенного решения системы (3), совпадающего с и в цилиндре Грубо говоря, мы требуем, чтобы для «истинного» решения энтропия возрастала с максимальной возможной скоростью. Можно показать, что при выборе выражения (35) для энтропии этот критерий выделяет единственное «истинное» решение задачи с начальными условиями для (15), даже если не является ни выпуклой, ни вогнутой. Этот критерий был успешно применен также к системе (17), давая тем самым веские основания думать, что он имеет более общий характер.

Энтропийное неравенство в газодинамике и общей механике сплошных сред подробно рассмотрено Курантом и Фридрихсом [5], а также Трусделлом и Тупином [1].

4б. Критерий гладкости

Согласно этому критерию, любое классическое (непрерывное) решение является «истинным». Разрывное обобщенное решение «истинно» только в том случае, если оно может быть аппроксимировано в соответствующем смысле последовательностью классических решений.

4в. Критерий истинности разрывов

Этот критерий применим только к истинно нелинейным, строго гиперболическим системам (правда, недавно были предложены его модификации, применимые к несколько более широкому классу систем). Обобщенное решение с разрывами называют истинным, если каждый разрыв, распространяющийся, например, в направлении со скоростью V и соединяющий состояния удовлетворяет следующему условию: в интервале между существует такой номер что

где характеристические скорости системы (4). В частности, для (15) со строго выпуклой (строго вогнутой) функцией разрыв является истинным, если что находится также в согласии с энтропийным условием. Критерий истинности разрывов был введен и изучен Лэксом, который обосновал этот критерий с помощью теории свободной границы [8], а в работе [4] установил эквивалентность этого критерия энтропийному в общем случае.

4г. Критерий согласования данной физической модели с более полной теорией

В гл. IV обсуждается задача о движении поршня в газе и устанавливается, что при определенных предположениях (нормированная) скорость газа и удовлетворяет параболическому уравнению)

где параметр пропорциональный продольной вязкости, положителен и обычно очень мал. Если газ невязкий, то (37) переходит в (23). Можно показать, что задача с начальными

данными для (37) всегда имеет единственное решение, которое является гладким. Для того чтобы теория невязкого газа надлежащим образом «укладывалась» в теорию газа с вязкостью, должно выполняться следующее условие: если и — истинное решение (23), а решение (37) с теми же начальными данными, то при соответствующем смысле). Предельное поведение решения уравнения (37) при было изучено Хопфом [9]. Было доказано, что решение (23) истинно согласно этому критерию, если оно истинно согласно энтропииному критерию (см., например, [4]).

В приведенном выше примере одна континуальная теория включена в другую, более полную континуальную теорию. В других задачах теория сплошной среды рассматривается как предельный случай теории дискретной системы, описываемой разностными или дифференциально-разностными уравнениями. Тогда «истинное» решение гиперболической системы должно быть пределом решений некоторой последовательности систем разностных или дифференциально-разностных уравнений.

Подробное обсуждение материала этого раздела дано в гл. IV, а его обобщение на системы двух уравнений изучено в работе [10].