Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Гиперболические системыИспользуя определяющие уравнения (2), можно привести уравнение поля (3) к виду
где Квазилинейную систему (4) называют гиперболической, если для любых фиксированных
имеет В следующих трех разделах рассматриваются некоторые фундаментальные свойства гиперболических систем, которые оправдывают данные определения. 2а. Плоские волныРассмотрим простейший случай, когда
с действительными 2б. Слабые разрывыПусть Ясно, что 9 может быть задана однопараметрнческим семейством поверхностей в обычном пространстве. Поэтому в физических приложениях поверхность Для каждого фиксированного
(если знаменатель обращается в нуль, необходима специальная Если V — скорость распространения поверхности 9 в направлении нормали
обращается в нуль на траектории
Рассматривая скачки величин, стоящих в левой части (4), на поверхности
где скобки обозначают скачок заключенной в них величины на поверхности 9. Поскольку функция и непрерывна на
Подстановка (10) в (9) дает
Сравнивая (11) с (5), мы приходим к следующему заключению: система (4) — гиперболическая, если в каждом направлении в пространстве могут распространяться 2в. ХарактеристикиМатематический анализ физического явления в сплошной среде, описываемого уравнениями поля (4), обычно приводит к задаче Киши: ищется решение уравнений (4) с заданными значениями на некоторой гладкой поверхности в пространстве-времени. Можно показать, что корректность постановки задачи Коши тесно связана со следующим вопросом. Пусть Пусть поверхность 9° задана уравнением
Здесь
невырожденная. Если же в каждой точке
то Сравнение (13) с (5) показывает, что существование характеристик принципиально связано с гиперболичностью системы (4). Кроме того, сравнивая (13) с (11) и учитывая (7) и (8), получаем, что любой слабый разрыв распространяется вдоль характеристики. Собственные значения задачи (5) называют характеристическими скоростями системы (4). В случае одной пространственной переменной
где Геометрическая теория характеристик хорошо развита и имеет множество приложений; мы надеемся, что приведенные ниже примеры подтвердят ее важность. Подробный разбор понятий, введенных в этом разделе, содержится в книге Куранта и Гильберта [3]. 2г. ПримерыУравнение с одной пространственной переменной
появляется фактически в каждой математической модели волновых явлений и может служить прототипом для построения общей теории. В этом случае задача о собственных значениях (5) имеет действительное решение Уравнение характеристик (14) принимает вид
С другой стороны, из (15) следует соотношение В качестве второго примера рассмотрим систему
которая встречается в механике жидкости, нелинейной теории упругости и других областях механики сплошных сред. Она эквивалентна (при
В этом случае В — единичная матрица, а
откуда получаем собственные значения Таким образом, система является гиперболической, если
Теперь, вообще говоря, нельзя утверждать, что характеристики являются прямыми линиями и что
Используя (17), получаем соотношения
которые вследствие соотношения (18) означают, что
|
1 |
Оглавление
|