2. Гиперболические системы

Используя определяющие уравнения (2), можно привести уравнение поля (3) к виду

где — матричные функции размерности векторное поле размерности зависящее от

Квазилинейную систему (4) называют гиперболической, если для любых фиксированных и произвольного единичного -вектора задача на собственные значения

имеет действительных собственных значений (не обязательно различных) и соответственно систему линейно независимых собственных векторов. В частности, если для всех все собственные значения различны, то система называется строго гиперболической.

В следующих трех разделах рассматриваются некоторые фундаментальные свойства гиперболических систем, которые оправдывают данные определения.

2а. Плоские волны

Рассмотрим простейший случай, когда а матрицы не зависят от Выберем единичный вектор произвольно ориентированный в пространстве, и будем искать решение системы (4) в виде плоской волны, распространяющейся в направлении т. е.

с действительными Легко убедиться в том, что (6) является решением (4) тогда и только тогда, когда удовлетворяют системе (5). Иными словами, в рассматриваемом случае линейной однородной системы эта система гиперболична тогда и только тогда, когда в каждом направлении в пространстве могут распространяться независимых плоских волн.

2б. Слабые разрывы

Пусть гладкая поверхность в пространстве-времени, определяемая уравнением Предположим, что непрерывное -векторное поле со следующими свойствами: в каждой точке, не принадлежащей 9, поле и непрерывно дифференцируемо и удовлетворяет системе (4); кроме того, существуют пределы пространственно-временных градиентов и на однако эти пределы различны по разные стороны от что первые производные от и претерпевают конечный скачок при переходе через поверхность

Ясно, что 9 может быть задана однопараметрнческим семейством поверхностей в обычном пространстве. Поэтому в физических приложениях поверхность отвечает распространяющейся волне, которую мы назовем слабым разрывом, чтобы отличить от более сильных воли, рассматриваемых в п. 36.

Для каждого фиксированного единичная нормаль к фронту волны [т. е. к поверхности имеет компоненты

(если знаменатель обращается в нуль, необходима специальная

Если V — скорость распространения поверхности 9 в направлении нормали то полная производная

обращается в нуль на траектории Таким образом,

Рассматривая скачки величин, стоящих в левой части (4), на поверхности и пользуясь тем, что не зависят от производных и и, следовательно, непрерывны, получаем

где скобки обозначают скачок заключенной в них величины на поверхности 9. Поскольку функция и непрерывна на непрерывна и ее касательная производная. Из этого следует, что только нормальная производная и имеет скачок на Так как вектор направлен по нормали к то, согласно (7) и (8), вектор также нормален к ней. Таким образом, если обозначает скачок нормальной производной и на поверхности

Подстановка (10) в (9) дает

Сравнивая (11) с (5), мы приходим к следующему заключению: система (4) — гиперболическая, если в каждом направлении в пространстве могут распространяться независимых слабых разрывов. Собственные значения, определяемые из (5), дают скорость распространения, а собственные векторы определяют (с точностью до масштабного множителя) амплитуду волн. Пример распространения слабого разрыва приведен в

2в. Характеристики

Математический анализ физического явления в сплошной среде, описываемого уравнениями поля (4), обычно приводит к задаче Киши: ищется решение уравнений (4) с заданными

значениями на некоторой гладкой поверхности в пространстве-времени. Можно показать, что корректность постановки задачи Коши тесно связана со следующим вопросом. Пусть решение системы (4). Определяет ли значение и на (т. е. значение и при стремлении аргумента к точкам на поверхности 9) величину пространственно-временного градиента и на 9? (Примеры корректно поставленных краевых задач с начальными условиями для волнового уравнения даны в гл.

Пусть поверхность 9° задана уравнением и имеется криволинейная система координат в которой -координатная поверхность. Используя цепное правило, можно записать (4) в новых координатах:

Здесь тангенциальные производные, и, следовательно, они определены значением и на 9. Таким образом, полный градиент и определен, если из (12) можно вычисилить иными словами, если матрица

невырожденная. Если же в каждой точке эта матрица вырождена, т. е. удовлетворяет дифференциальному уравнению

то называют характеристикой.

Сравнение (13) с (5) показывает, что существование характеристик принципиально связано с гиперболичностью системы (4). Кроме того, сравнивая (13) с (11) и учитывая (7) и (8), получаем, что любой слабый разрыв распространяется вдоль характеристики. Собственные значения задачи (5) называют характеристическими скоростями системы (4).

В случае одной пространственной переменной характеристики являются интегральными кривыми обыкновенного дифференциального уравнения

где характеристическая скорость.

Геометрическая теория характеристик хорошо развита и имеет множество приложений; мы надеемся, что приведенные ниже примеры подтвердят ее важность. Подробный разбор понятий, введенных в этом разделе, содержится в книге Куранта и Гильберта [3].

2г. Примеры

Уравнение с одной пространственной переменной

появляется фактически в каждой математической модели волновых явлений и может служить прототипом для построения общей теории. В этом случае задача о собственных значениях (5) имеет действительное решение т. е. уравнение (15) относится к гиперболическому типу.

Уравнение характеристик (14) принимает вид

С другой стороны, из (15) следует соотношение которое показывает, что и постоянна на характеристиках. Вместе с (16) это означает, что характеристики — прямые линии.

В качестве второго примера рассмотрим систему

которая встречается в механике жидкости, нелинейной теории упругости и других областях механики сплошных сред. Она эквивалентна (при волновому уравнению второго порядка

В этом случае В — единичная матрица, а

откуда получаем собственные значения и соответственно собственные векторы

Таким образом, система является гиперболической, если Два семейства характеристик даются интегральными кривыми уравнений

Теперь, вообще говоря, нельзя утверждать, что характеристики являются прямыми линиями и что остаются на них постоянными. Однако можно построить некоторый аналог последнего условия. Определим функции

Используя (17), получаем соотношения

которые вследствие соотношения (18) означают, что постоянна на каждой характеристике, соответствующей распространению в положительном направлении, на характеристиках, соответствующих отрицательным направлениям распространения. Функции называют инвариантами Римана для системы (17). Общее определение инвариантов Римана можно найти в книге Лэкса [4], а их применение в газовой динамике рассмотрено в книге Куранта и Фридрихса [5].