2а. Уравнение Бюргерса

Наша цель состоит в изучении поведения и структуры волновых движений, описываемых уравнением (21). Здесь мы ограничимся рассмотрением наиболее простой формы волнового движения, отражающей все основные свойства уравнения (21), т. е. влияние нелинейного члена очень малой величины его правой части. Таким образом, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть плоский, цилиндрический или сферический поршень, расположенный в начальный момент времени в точке совершает колебательное движение с небольшой амплитудой Малый параметр входящий в уравнение (21), равен Это движение порождает волновое возмущение, которое в первом приближении удаляется от поршня со скоростью звука в невозмущенной окружающей среде. Вопрос состоит в следующем: как ведет себя волна во все последующие моменты времени?

При система уравнений (21) соответствует уравнениям (12). Используя прием, изложенный в разд. 2, находим, что Для Со имеются три различных собственных значения: ±1 и 0; им соответствуют собственные векторы-столбцы (транспонированные) (1, ±1, 0) и , которые в нулевом приближении описывают две звуковые и одну энтропийную моды. Для нашей модельной задачи собственной модой является звуковая волна, распространяющаяся в положительном направлении. Таким образом, полагая имеем

здесь функция определяется движением поршня. Результирующее движение представляет собой плоскую волну, распространяющуюся со скоростью звука в невозмущенной среде и не искажающуюся вследствие нелинейных эффектов или вязкости. Естественно, нельзя надеяться, что такой результат справедлив и в точках пространства, удаленных от поршня; мы знаем, что в этих точках амплитуда должна существенно зависеть от геометрии движения, и, как указывалось выше, нелинейные эффекты высшего порядка окажут в конце концов заметное влияние уже в первом приближении. Это приведет к обострению профиля волны и в результате к увеличению роли вязкой диссипации.

Прежде чем приступить к применению формального подхода, изложенного в разд. 1, заметим, что окончательный результат — уравнение Бюргерса — почти немедленно следует из уравнений (21), если ввести новые координаты Тогда при система уравнений (21) принимает вид

Поскольку оператор сингулярен, то система уравнений в приближении низшего порядка, получаемая из (23), т. е.

является переопределенной. Из первых двух уравнений следует, что и переопределенность исключается суммированием всех трех уравнений. Результирующая сумма правых частей при образует следующее уравнение для и :

Это и есть обобщенное уравнение Бюргерса, применяемое для описания движений с цилиндрической и сферической симметрией.

Возвращаясь к общей схеме, введем медленные времена в соответствии с выражениями (19а). Учитывая, что и замечая, что

получаем следующие три уравнения:

и

где мы ввели обозначения и пренебрегли величиной по сравнению с

Таким образом, мы получили систему трех уравнений для последовательно описывающих зависимость от различных временных масштабов, определяемых тремя параметрами Физические масштабы времени даются выражениями

причем они соответствуют: 1) времени, в течение которого волна распространяется на расстояние I с максимальной скоростью возмущения; 2) времени, в течение которого волна расплывается в пространстве на расстоянии порядка 11); 3) времени распространения волны на расстояние Реконструированное уравнение, соответствующее системе (25), записывается в виде

что при эквивалентно уравнению (24).