1. Резонансные условия

Чтобы понять существо дела, рассмотрим одно элементарное свойство осциллирующих систем. Линейный осциллятор, находящийся под действием малой вынуждающей силы, описывается уравнением

где собственная частота системы, частота вынуждающей силы. Отклонение системы от начального состояния покоя мало (порядка ), если не очень близко к т. е. если нет резонанса между частотой вынуждающей силы и собственной частотой системы. Если же эти частоты совпадают, то амплитуда осцилляций возрастает линейно со временем до сколь угодно большой величины. Итак, единственный способ сделать отклик системы большим — это использовать явление резонанса.

Очень похожий эффект имеет место при взаимодействии волн. Рассмотрим две взаимодействующие волны, которые в первом приближении задаются решениями линейного уравнения (3):

где волновое число и частота каждой из волн связаны дисперсионным соотношением Естественно ожидать, что решение полного уравнения (5) имеет в общем тот же самый вид, амплитуды и, возможно, изменяются со

Бременем. Целесообразно искать решения уравнения (5), подставляя выражения типа (6) в малые нелинейные члены, стоящие в правой части. В случае когда нелинейность низшего порядка квадратична, эта подстановка приводит к выражениям типа

В уравнении (5) эти члены, по существу, играют роль малой вынуждающей силы, действующей на линейную систему и приводят к возбуждению волн с волновыми числами частотами Можно ожидать, что отклик системы на эту вынуждающую силу будет мал (порядка ) до тех пор, пока нет резонанса, т. е. пока волновое число и частота приложенной вынуждающей силы не совпадут с волновым числом и частотой какой-либо собственной волны. Если же такое совпадение произойдет, то возникнет резонанс и в результате новая компонента возрастет за счет непрерывного потребления энергии от двух исходных волн. Если начальная амплитуда третьей компоненты равна нулю, то в условиях резонанса она растет линейно до тех пор, пока утечка энергии от других компонент не начнет уменьшать их амплитуду, а следовательно, и амплитуду вынуждающей силы. Хотя эта основная идея появляется в результате простого обобщения известных свойств линейного осциллятора, в случае волн могут возникнуть некоторые математические тонкости, особенно при рассмотрении почти, но не совсем, резонансного случая. Эти особенности обсуждал Брезертон [1].

Итак, условия, при которых три волны могут эффективно обмениваться энергией при квадратичной нелинейности, должны иметь вид

где для каждой пары волновой вектор — частота справедливо линейное дисперсионное соотношение

Если волны не удовлетворяют этим условиям, то эффект их взаимодействия мал (порядка ).

Таким образом, возможность энергетического обмена подобного типа связана с существованием решений резонансных уравнений. Последнее в свою очередь зависит от вида дисперсионного соотношения, характеризующего волновой процесс. Например, возможность существования троек волновых векторов, удовлетворяющих условиям резонанса, в случае капиллярно-гравитационных волн на поверхности глубокой воды проще

Фиг. VII. 1. Диаграмма на плоскости частота — волновое число, иллюстрирующая существование резонансных триад капиллярно-гравитационных волн.

всего может быть продемонстрирована с помощью следующего геометрического построения [2].

Прежде всего рассмотрим волны, распросграняющиеся в одном направлении. По оси ординат отложим частоту, а по оси абсцисс — волновое число. Для капиллярно-гравитационных волн дисперсионное соотношение имеет вид

где -коэффициент поверхностного натяжения, плотность воды. Эта зависимость изображена на фиг. VII. 1 сплошной кривой. При малых значениях (область гравитационных волн) эта кривая выпукла, а при больших значениях к (капиллярная

область) она вогнута. Если мы возьмем произвольную ючку на этой кривой и проведем вектор (1), соединяющий эту точку с началом координат, то вертикальная и горизонтальная проекции этого вектора дают пару частота — волновое число для свободной волны. Затем перейдем к новой координатной системе с осями и началом координат в точке и построим ту же самую дисперсионную кривую в этих новых координатах. На фиг. VII. 1 она показана пунктиром. Любой вектор, соединяющий точку на этой кривой с новым началом координат, снова задает пару волновое число — частота для одной из трех волн. Если кривые пересекаются [в данном случае это происходит в точке или, что то же самое, то три вектора, соединяющие точку пересечения с обоими началами координат и начала координат между собой, определяют триады волновых чисел и частот, удовлетворяющих (7), причем для каждой пары этих величин отдельно выполняется соотношение (8). В рассмотренном примере

Эти три волны способны резонансно взаимодействовать между собой. Отметим, что эти взаимодействия избирательны, так как три волновых числа, выбранных произвольно, вообще говоря, не удовлетворяют этим соотношениям. Кроме того, взаимодействия слабы из-за малой величины нелинейного члена; ниже мы увидим, что заметный обмен энергией в данном случае занимает промежуток времени порядка периодов волны.

Это построение дает нам лишь уверенность, что по крайней мере некоторые распространяющиеся коллииеарно капиллярно-гравитационные волны способны к такому резонансному взаимодействию. Если же волны не коллинеарны, то к задаются векторами, расположенными в горизонтальной плоскости. Тогда геометрическое построение должно быть произведено в трехмерном пространстве, причем дисперсионное соотношение изображается уже не кривой, а чашеобразной поверхностью, аксиально-симметричной относительно оси частот. Пересечения двух таких поверхностей определяют тройки волновых векторов, способных резонансно взаимодействовать [2], как это показано на фиг. VII. 2.

Для данного конкретного вида волнового движения резонансные тройки волн действительно существуют, но в общем случае это не всегда так. Например, для чисто гравитационных волн на поверхности глубокой воды дисперсионное уравнение имеет вид (3), и соответствующие дисперсионные кривые всюду кыпгклм.

Фиг. VII. 2. (см. скан) Диаграмма на плоскости волновых чисел, показывающая типичную резонансную триаду для капиллярно-гравитационных волн [3].

Волна с волновым вектором может взаимодействовать с произвольной волной, волной вектор которой оканчивается на указанной лчнии; волновой вектор замыкает треугольник.

Аналогичное построение не дает точек пересечения, и, таким образом, у системы резонансных уравнений при квадратичном взаимодействии отсутствуют нетривиальные решения. В этом случае анализ необходимо продолжить, рассмотрев эффекты высших порядков, и тогда оказывается, что первый резонансный эффект — это кубическое взаимодействие, охватывающее четыре отдельные волны; это усложнение будет обсуждаться позднее. Однако для многих видов волновых процессов возможен более простой случай квадратичного резонансного взаимодействия троек волн. К ним относятся внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости с постоянной частотой Брента — Вяйсяля характеризуемые дисперсионным соотношением (4), а также близкие им по природе инерционные волны в однородно-вращающейся жидкости.

Резонанс может иметь место и для двух различных типов одновременно существующих волн. Например, в работах [3, 4] показано, что взаимодействие двух гравитационных волн, движущихся по поверхности воды, в принципе может генерировать внутренние волны на резком подводном термоклине.