3. Простой вывод выражений для групповой скорости в линейных задачах

Известно (см. разд. 2), что групповая скорость имеет два различных смысла. С одной стороны, она определяет распространение волнового числа и частоты, с другой — изменения амплитуды. В асимптотическом решении (30) первое связано с определением а второе — с определением а.

Чтобы описать медленно меняющийся волновой пакет, нужно ввести фазовую функцию Локальное волновое число и частота определяются через следующим образом:

Считая, что величины являются медленно меняющимися, естественно предположить, что они по-прежнему удовлетворяют дисперсионному соотношению, которое для линейной задачи записывается в виде

Уравнения (36) и (37) дают нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для Величины удобно определить из (37) и уравнения совместности [получаемого исключением из (36)]

Если есть решение уравнения (37), то из (38) находим

Отсюда сразу следует, что принимает постоянные значения вдоль характеристических кривых, определяемых на плоскости уравнением

Поскольку вдоль любой такой кривой неизменно, то эти кривые представляют собой прямые линии, каждая из которых имеет наклон соответствующий значению для данной кривой. Решение, соответствующее начальному распределению при имеет вид

С физической точки зрения это означает, что распространяется со скоростью, равной соответствующему значению групповой скорости Если возмущение первоначально сконцентрировано около начала координат, то можно найти из выражения

Это аналогично случаю, описываемому формулой (28), а именно, при больших начальное возмущение можно считать локализованным около начала координат. В таком (и только в таком) случае

Таким образом, в нашем распоряжении имеется очень простой и вместе с тем достаточно общий метод анализа кинематики волн.

Второй смысл групповой скорости связан с определением амплитуды о, т. е. с динамикой волн. Дифференциальное

уравнение для а связано с уравнением (39) для Его нетрудно найти несколькими способами. Один из способов состоит в привлечении уравнений (34) и (35). Мы видим, что

При в пределе имеем

Кроме того, из решения конкретных задач хорошо известно, что плотность и поток энергии пропорциональны соответственно Это фактически еще один известный аргумент в пользу того, что энергия распространяется с групповой скоростью. Уравнение (42) выражает соответствующий закон сохранения энергии. Существует много способов, использующих этот аргумент, которые приводят к уравнению (42); но до последнего времени все они страдали тем недостатком, что уравнение (42) выводилось отдельно из исходных, уравнений для каждой конкретной задачи. Почему результат всегда один и же, когда его выражают через групповую скорость? Теперь это стало понятно на основе общего подхода, использующего вариационные принципы. В то же время оказалось, что уравнение (42), по существу, выражает не закон сохранения энергии, а закон сохранения «волнового действия», которое в простых случаях пропорционально энергии.

Для нелинейных задач введение переменных по-прежнему остается в силе. Однако дисперсионное соотношение теперь включает а:

Таким образом, два уравнения, соответствующие (38) и (42), становятся взаимосвязанными. Вариационный метод дает также простой вывод соответствующих уравнений. Прежде чем перейти к изучению этого метода в разд. 5, в следующем разделе мы рассмотрим распространение линейных волн в неодномерном случае — обобщение, которое можно провести, как и в разд. 2, методом стационарной фазы для многомерных интегралов Фурье, а также обобщение на неоднородную среду, которая не может быть изучена с помощью этих интегралов. Кроме того, приведем несколько примеров, демонстрирующих эффективность рассмотренных простых методов и показывающих ценность такого интуитивного подхода даже в тех случаях, когда известно точное решеиие, выраженное через интегралы Фурье.