2з. «Частота скольжения» и дисперсия

Предыдущее обсуждение дисперсии волн было весьма ограниченным. Термин «бездисперсионный» использовался для обозначения соответствующего свойства дисперсионного соотношения во всем диапазоне волновых чисел. Фактически же дисперсионное соотношение может обладать этим свойством при одних значениях волнового числа и не обладать при других.

Частота периодической волны относительно галилеевской системы координат, движущейся со скоростью равна

Эта формула определяет величину допплеровского сдвига частоты. Для наблюдателя, движущегося с групповой скоростью С, эта частота называется частотой скольжения и определяется выражением

Выполнение свойства бездисперсионности (22) при всех значениях к для дисперсионного соотношения означает, что частота

скольжения равна нулю. В общем случае, когда соотношение (22) справедливо лишь при некотором частном значении волнового числа к, такие волны можно назвать непроскальзывающими. Наблюдатель, привязанный к определенному гребню или фронту волны, мог бы перемещаться с групповой скоростью и при этом сохранять свое положение относительно фронта только в том случае, если это свойство выполняется.

Термин «дисперсия» относится к способности волнового пакета или группы расплываться (диспергировать) и является следствием непостоянства групповой скорости или Это свойство, которое приводит к изменению общей формы волнового пакета, характеризуется производной от групповой скорости по волновому числу. Для одномерного распространения дисперсия определяется через функцию (13) как

В полностью бездисперсионном случае, когда справедливо соотношение (14), эта величина равна нулю. Если для частных значений то для волн, соответствующих этим значениям также можно говорить об отсутствии дисперсии.

В трехмерном случае производная от С по к представляет собой симметричный тензор дисперсии

При анизотропном распространении волны этот тензор, вообще говоря, не равен нулю даже для процессов такого типа, которые мы считаем бездисперсионными [альфвеновские волны представляют собой исключение (см. Поскольку этот тензор симметричен, то существует декартова система координат, в которой он диагонален, причем диагональные элементы представляют собой три действительных собственных значения тензора. Тензор может быть вырожденным, когда одно или два (но не три) собственных значения равны нулю, но сам тензор в. нуль не обращается.

В частном случае, когда

дисперсия отсутствует для всех к в том смысле, что тензор дисперсии вырожден. В этом случае свойство «непроскальзывания» (22) также имеет место. Вообще говоря, эти два свойства (без-дисперсионность и непроскальзывание) непосредственно не связаны. Для изотропного случая, пользуясь соотношением (20), можно показать, что тензор дисперсии в системе координат,

связанной с , состоит из следующих компонент:

В изотропном случае (без учета распространяющихся волн) распространение волны называется бездисперсионным при данном значении в том и только том случае, если

Два отличных от нуля диагональных члена в этом тензоре представляют геометрическую дисперсию, которая, таким образом, оказывается неизбежным эффектом в изотропном случае. Эти члены описывают изменение направления вектора групповой скорости в зависимости от изменения направления k. Указанному эффекту соответствует расходимость лучей от источника или виртуального фокуса или сходимость лучей в фокусе.