2г. Сводка основных элементов метода решения

Дадим теперь краткое резюме, которое поможет уяснить довольно сложную изложенную процедуру. Мы должны решить начальную задачу

Сначала решим задачу на собственные значения

из которой определяются Тогда (27) и (28) дадут зависящие от времени величины которые определяют в явном виде:

и, таким образом, уравнение Гельфанда — Левитана полностью определено. Если мы сможем решить это интегральное уравнение, то решение задачи о начальных значениях для уравнения КДВ сведется просто к формуле

причем К зависит от как от параметра.

Здесь можно возразить, что мы просто заменили одну трудную задачу другой. Однако в действительности достигнуты два серьезных упрощения. Во-первых, уравнение (30) и уравнение Гельфанда — Левитана линейны; во-вторых, входит в задачу только как параметр. Более того, и просто числа, а -функция, которая входит только под знаком интеграла.