2. Гармонические волны в средах с дисперсией

Простейшей иллюстрацией группы, или пакета, колебаний, которая движется со скоростью, отличной от скорости отдельных компонент, составляющих группу, может служить пример, предложенный Стоксом в 1876 г. Группа состоит из двух гармонических волн, движущихся в некотором направлении с мало разнящимися волновыми числами и частотами. Обозначая эти разности через соответственно, такие волны можно представить в виде (см. гл. I, п. 2в)

или

Это выражение описывает гармоническую волну с волновым числом и частотой но с амплитудой, модулированной косинусоидой. Поскольку по предположению величины малы, ясно, что амплитуда представляет собой медленно

меняющуюся как по так и по функцию, огибающую быстро осциллирующие пульсации. Из графика действительной части выражения (8), приведенного на фиг. 1.3, очевидно, что волновой пакет может быть определен как совокупность осцилляций, содержащихся между двумя последовательными узлами огибающей. Эти осцилляции распространяются с фазовой скоростью в то время как скорость огибающей равна групповой скорости При выражение для С совпадает с выражением (7) для групповой скорости. Однако в том же самом пределе расстояние между последовательными узлами огибающей становится бесконечным, другими словами, группы волн исчезают и получается простая гармоническая волна. Тем не менее эту волну можно рассматривать как бесконечную группу осцилляций, имеющих групповую скорость

Суперпозиция более чем двух гармонических волн с близкими волновыми числами и частотами более сложна для математического анализа, однако можно показать, что групповая скорость по-прежнему имеет смысл [1]. Рассмотрим, например, бесконечное число таких цугов, распространяющихся в положительном направлении вдоль оси со средним волновым числом к и средней частотой . В этом случае можно представить в виде

где амплитуда А считается медленно меняющейся функцией а множитель вводится так, чтобы не обращалась в нуль, когда

Этот интеграл можно приближенно вычислить, разлагая в ряд по и оставляя только первые два члена, т. е.

где -групповая скорость, соответствующая среднему значению волнового числа. Тогда, обозначая через и заменяя приближенным значением получаем

Фиг. II. 1. Волновой пакет (10) для умеренных значений времени

Как и в примере Стокса, в результате опять получился волновой дуг со средним (по составляющим его гармоническим волнам) волновым числом и с амплитудой, модулированной медленно меняющейся огибающей, которая формирует систему волновых пакетов. Пакеты распространяются с групповой скоростью С, в то время как составляющие их осцилляции распространяются с фазовой скоростью

В этом примере амплитуда модуляции представляет собой функцию, которая для фиксированного момента времени обратно пропорциональна Таким образом, существует одна главная группа с центром в точке ампитуда которой равна График функции (10) представлен на фиг. II. 1.

Спустя большой промежуток времени выражение (10) становится неприменимо из-за тех членов в разложении которыми пренебрегли выше. Хотя они и пропорциональны но их вклад оказывается не малым ввиду умножения на После этого интеграл в (9) можно вычислить другим способом, известным как метод стационарной фазы и обсуждаемым в разд. 3. Этот метод показывает, что серия волновых пакетов, соответствующих выражению (10), будет расплываться (диспергировать), образуя более сложную систему групп волн, амплитуды которых уменьшаются по величине пропорционально но с одним исключением. Как и следовало ожидать, исключение составляет группа, расположенная при ее амплитуда оказывается пропорциональной