4. Обобщения и примеры

В неодномерном случае фаза является функцией положения точки и времени Волновой вектор к и частота даются выражениями

В линейной теории для однородной среды дисперсионное соотношение имеет вид причем в него входят параметры среды. В случае неоднородной среды ее параметры являются медленно меняющимися функциями и дисперсионное соотношение принимает вид

Мы по-прежнему будем использовать его вместе с выражениями (43). Исключая из выражений (43) с помощью перекрестного дифференцирования, получаем

Если взять одно из решений уравнения (44) в виде то первое из уравнений (45) записывается следующим образом:

здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Введем далее вектор групповой скорости, составляющие которого даются выражением

а из второго уравнения (45) получаем, что производную можно заменить на Тогда

Это уравнение можно написать в характеристической форме:

Полученные уравнения (49) являются уравнениями Гамильтона, в которых роль обобщенных импульсов играют а роль

мильтониана — частота Такой дуализм хорошо известен в квантовой теории. Уравнение для записывается в виде

оно представляет собой уравнение Гамильтона — Якоби.

В однородной среде волновой вектор к по-прежнему распространяется с групповой скоростью причем значение его не меняется. В неоднородных средах волновой вектор распространяется с той же скоростью, но его значения изменяются, причем скорость изменения равна Для однородной среды общее решение, соответствующее выражениям (40), имеет вид

В случае локализованного начального возмущения волновой вектор к дается выражением

[Это выражение соответствует формуле (28), определяющей положение стационарной точки в многомерном интеграле Фурье.)

Приведем несколько типичных и интересных примеров, взятых из теории волн на воде.