4. Обобщения и примеры
В неодномерном случае фаза
является функцией положения точки
и времени
Волновой вектор к и частота
даются выражениями
В линейной теории для однородной среды дисперсионное соотношение имеет вид
причем в него входят параметры среды. В случае неоднородной среды ее параметры являются медленно меняющимися функциями
и дисперсионное соотношение принимает вид
Мы по-прежнему будем использовать его вместе с выражениями (43). Исключая
из выражений (43) с помощью перекрестного дифференцирования, получаем
Если взять одно из решений уравнения (44) в виде
то первое из уравнений (45) записывается следующим образом:
здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Введем далее вектор групповой скорости, составляющие которого даются выражением
а из второго уравнения (45) получаем, что производную
можно заменить на
Тогда
Это уравнение можно написать в характеристической форме:
Полученные уравнения (49) являются уравнениями Гамильтона, в которых роль обобщенных импульсов играют
а роль
мильтониана — частота
Такой дуализм хорошо известен в квантовой теории. Уравнение для
записывается в виде
оно представляет собой уравнение Гамильтона — Якоби.
В однородной среде волновой вектор к по-прежнему распространяется с групповой скоростью
причем значение его не меняется. В неоднородных средах волновой вектор распространяется с той же скоростью, но его значения изменяются, причем скорость изменения равна
Для однородной среды общее решение, соответствующее выражениям (40), имеет вид
В случае локализованного начального возмущения волновой вектор к дается выражением
[Это выражение соответствует формуле (28), определяющей положение стационарной точки в многомерном интеграле Фурье.)
Приведем несколько типичных и интересных примеров, взятых из теории волн на воде.