2в. Групповая скорость

Рассмотрим теперь очень важное с физической точки зрения явление, связанное с дисперсией. Заметим, что производная от правой части дисперсионного соотношения (13)

имеет размерность скорости; она называется групповой скоростью. Выберем некоторое значение и соответствующее ему значение как исходные величины и допустим, что к волновому числу добавляется малое возмущение Соответствующее возмущенное значение частоты может быть аппроксимировано первыми двумя членами ряда Тейлора:

Тогда фаза соответствующая этому возмущенному значению волнового числа (при неизменном а), определяется выражением

где невозмущенная фаза, определяемая формулой (11). Если теперь не возрастает, а уменьшается до значения то соответствующая фаза (также при постоянном а) определяется выражением

Решение соответствующее волновому числу имеет вид

Решение записывается в виде с такой же амплитудой, как и Суперпозиция двух решений дает

Это решение (при изображено на фиг. 1.3. Его можно рассматривать как волну с исходными волновым числом и частотой, модулированную по амплитуде множителем Другими словами, происходят биения, соответствующие медленным изменениям амплитуды. Колебания ограничены двумя кривыми

которые являются огибающими решения или, более строго, семейства решений, получаемых изменением а.

Огибающая, или ограничивающая кривая (16) движется в пространстве со скоростью С. Каждый участок огибающей длиной можно интерпретировать как группу (пакет) волн, а скорость С — как скорость этой группы. В бездисперсионном случае из (14) и (15) получаем

Таким образом, в отсутствие дисперсии групповая скорость равна фазовой — результат, согласующийся с нашим представлением о бездисперсионном распространении как о передаче произвольного сигнала без изменения его формы. В дисперсионном случае групповая скорость отличается от фазовой и может быть как больше, так и меньше фазовой скорости (и даже иметь обратный знак).

Наши результаты и их интерпретации, относящиеся к понятию групповой скорости, применимы не только к частной форме огибающей, определяемой выражением (16) и фиг. 1.3.

Фиг. 1. 3. Решение с биениями.

Они пригодны и в общем случае волновых пакетов с достаточно плавной огибающей при условии, что размер пакета велик по сравнению с длиной волны исходного сигнала.