3. Одномерное волновое уравнение

В этом разделе мы исследуем простейшее линейное волновое уравнение, взяв в качестве независимых переменных время и одну пространственную координату Примеры физических задач, приводящих к такому уравнению, обсуждаются в разд. 4.

Рассматриваемое уравнение в частных производных (второго порядка по обеим переменным) имеет вид

Величина а постоянна и имеет размерность скорости. Это уравнение — гиперболического типа, и, следовательно, с ним связаны особые линии в пространстве называемые характеристиками. Более подробное обсуждение многих вопросов, затронутых в настоящем разделе, можно найти в гл. III.

Эффективный общий подход к исследованию некоторого линейного уравнения, которое предположительно имеет решение в виде распространяющейся волны, состоит в том, чтобы подставить решение в таком виде и искать соответствующее дисперсионное соотношение. Подставим в используя операцию взятия действительной части в (10) и считая, что фаза

определяется выражением (11). В результате получим

Выражение в скобках должно быть равно нулю, откуда

Это и есть искомое дисперсионное соотношение. Его можно записать в виде (13)

Знаки обозначают существование двух семейств волн; заметим, что данная система изотропна. Она также не обладает Дисперсией, причем фазовая и групповая скорости постоянны и равны

3а. Общее решение

Поскольку данная волновая система не обладает дисперсией, то предположение о синусоидальном характере решения несущественно. Решением будет произвольная функция вида так же как и произвольная функция от Их суперпозиция дает

Функции должны быть дважды диффереицируемы, а в остальном они могут быть совершенно произвольны.

Выражение (28) является общим решением уравнения (27). Это утверждение означает, что любое решение уравнения (27) может быть представлено в виде (28). Такое представление не вполне однозначно, поскольку к можно добавить произвольную постоянную и вычесть ее же из не изменяя решения (28). Чтобы показать, что (28) является общим решением, получим его непосредственно. Введем вместо новые координаты

Тогда уравнение (27) примет вид

Интегрируя это уравнение по получаем

Произвольная «постоянная», возникающая при интегрировании по в действительности является произвольной функцией

которую мы обозначили через Интегрируя затем (31) по получаем

т. е. имеем решение в виде, идентичном выражению (28).

3б. Характеристики

Для дифференциального уравнения в частных производных с двумя независимыми переменными характеристика является траекторией или линией на плоскости этих переменных, вдоль которой данное уравнение эквивалентно уравнению в обыкновенных производных более низкого порядка. Характеристики важны, например, для нелинейных проблем газодинамики. Для уравнения (27) характеристики представляют собой два семейства линий Характеристики называются «обращенными вперед», или «обращенными вправо», так как на них возрастает со временем. Соответственно характеристики называются «обращенными назад», или «обращенными влево». Те и другие характеристики изображены на фиг. 1.4. Координаты, которые остаются постоянными на характеристиках, называются характеристическими координатами.

Соответствующий анализ, по существу, уже был проделан выше при выводе общего решения. Рассмотрим теперь величины

как различные зависимые переменные. Для обращенных вправо характеристик из (29) получим

Из (30) следует, что не зависит от т. е.

Уравнение (34) — это дифференциальное уравнение в обыкновенных производных, эквивалентное дифференциальному уравнению в частных производных на характеристике, определенной выражением (33). Аналогичным образом для обращенной влево характеристики можно написать

Полученные результаты дают меньше информации, чем можно получить из общего решения. Однако этот подход важен тем, что он может быть применен к ряду задач, для которых в нашем распоряжении нет подходящих общих решений. В таких задачах выражения, аналогичные (33) и (34), могут быть использованы как основа для построения схемы численного счета.

Фиг. 1.4. Характеристики уравнения (27).

Например, этот подход может быть применен непосредственно к нелинейным уравнениям (48) и (49) без каких-либо дальнейших упрощающих предположений.

3в. Инвариантные преобразования

Так как (27) представляет собой однородное линейное уравнение, то оно инвариантно по отношению к умножению зависимой переменной на произвольную постоянную. Это уравнение инвариантно также по отношению ко многим преобразованиям независимых переменных. Наиболее общее из таких преобразований получается при замене переменных в уравнении (30) на монотонно дифференцируемые функции от и Это преобразование включает в себя трансляции по осям однородное растяжение обеих осей и преобразование Лоренца.

Преобразование Лоренца можно записать в виде

или в переменных

где безразмерная постоянная (число Маха). Первое из уравнений (35) описывает преобразование, обобщающее преобразование Галилея и соответствующее переходу в движущуюся систему координат; второе уравнение определяет изменение времени. необходимое для того, чтобы сохранить (27) инвариантным.

Классическое преобразование Лоренца играет важную роль в специальной теории относительности и в теории электромагнитных волн, где а представляет собой скорость света. Если перейти к пределу а так, чтобы скорость системы координат оставалась постоянной, то преобразование Лоренца перейдет в преобразование Галилея.

Основное уравнение (27) инвариантно и по отношению к другим преобразованиям, в частности, по отношению к дифференцированию по или Действительно, величины а также производные высшего порядка удовлетворяют уравнению (27), если ему удовлетворяет у. Любая линейная комбинация у и ее производных удовлетворяет тому же уравнению. В частности, линейные комбинации определяемые выражениями (32) для удовлетворяют, конечно, дифференциальным уравнениям первого порядка в частных производных. При соблюдении соответствующих условий на бесконечности основное уравнение инвариантно также относительно интегрирования вдоль любой фиксированной прямой в пространстве Например, при величина удовлетворяет уравнению (27), если ему удовлетворяет у.

3г. Законы сохранения

В пространстве одного (или более) измерения плюс время закон сохранения выражается соотношением типа (18) [или (23)]. Впрочем, уравнение (27) и само описывает закон сохранения, так как оно может быть представлено в виде

Для любой функции существуют тривиальные законы сохранения, простейший из которых

Важный тип законов сохранения представляют «энергетические» законы, которые содержат величины, равные или аналогичные по смыслу плотности энергии и потоку в физике. Два простейших закона такого типа для уравнения (27) выглядят следующим образом:

Следует помнить о возможности получения новых решений посредством дифференцирования или интегрирования, так как это позволяет получать и новые законы сохранения.

Во многих физических задачах при соответствующем выборе переменной у выражение (36) оказывается, по существу, уравнением сохранения энергии (18). Чтобы определить роль, которую играет уравнение (18) или другие законы сохранения, рассмотрим, как меняется во времени интеграл от по Он имеет вид

Предположим, что пределы интегрирования не зависят от Дифференцируя по времени, получаем

Во многих задачах 5 либо исчезает на границах конечного интервала, либо стремится к нулю на бесконечности. В таких задачах величина постоянна. Законы сохранения и сохраняющиеся величины используются для различных целей. Часто законы сохранения непосредственно используются для формулировки исходных уравнений, описывающих физическую задачу. Однако они также могут быть связаны с некоторой приближенной процедурой, как это описано, например, в гл. V, VI и VIII.

3д. Начальные и граничные условия

В типичной задаче с начальными условиями требуется найти решение основного уравнения для если заданы Используя решение в общем виде (28), можно записать

Чтобы получить решение, необходимо определить обе функции а для этого нужно знать два начальных условия. Интегрируя (38), получаем

Произвольная постоянная интегрирования не влияет на решение. Из уравнений (37) и (39) можно выразить функции

Если интервал изменения бесконечен, то выражения (40) определяют функции на всем интервале и полиостью задают решение. Если же интервал изменения ограничен, то необходимо задать граничные условия. В качестве примера рассмотрим случай, когда принимает положительные значения и имеется одна граничная точка (полубесконечная среда). В этом случае определяются выражениями (40) только при положительных значениях их аргументов. При аргумент всегда положителен, поэтому функция полностью определена. С другой стороны, аргумент функции отрицателен при некотором интервале и поэтому не определяется выражением (40). Недостающая информация получается заданием или как функций времени на границе Полагая, что задана функция получаем

Это соотношение определяет для отрицательного аргумента через известные функции, и, таким образом, получается полное решение. В случае когда т.е. граничное условие однородно, решение имеет вид

для .

Если интервал изменения ограничен как сверху, так и снизу, необходимо ввести второе граничное условие. Для интервала функции определены только при значениях их аргументов, лежащих в этом интервале. Граничное условие при позволяет определить для отрицательного аргумента с помощью соотношения типа (41). Если же задана функция то соотношение

позволяет определить для значений ее аргумента, больших чем Если обращается в нуль как при так и при то из (41) и (43) следует, что

В этом случае функции периодичны с периодом 21, а все движение периодично во времени с периодом Соответствующая круговая частота равна

3е. Нормальные моды

Исследуем теперь решение, полученное выше для однородных граничных условий вида при Так как функция периодична с периодом 21, ее можно разложить в ряд

Тогда решение (42) примет вид

где определяется соотношением (44).

В этом виде решение можно интерпретировать двумя способами. Во-первых, решение представляет собой суперпозицию стоячих воли, каждая из которых имеет вид (24), но выбирается так, чтобы она обращалась в нуль на обеих границах. Во-вторых, даииая система эквивалентна бесконечному числу простых линейных осцилляторов с частотами где каждый из которых описывается решением типа (3). В этой интерпретации переменная у, определяемая из (3), для каждого значения является множителем при в выражении (45). Эти синусоидальные по компоненты решения называются нормальными модами. Частота называется фундаментальной частотой системы. Она соответствует волнам длиной 21, т. е. длина системы составляет половину фундаментальной длины волны.

Если однородные граничные условия имеют вид при то результаты, по существу, те же самые, только синусы аргумента заменяются косинусами. Действительно, если у определяется выражением (45), то как раз является решением этого второго типа, поскольку удовлетворяет условию на границах. Единственное отличие заключается в том, что теперь допускается дополнительный, постоянный относительно член вида соответствующий нулевой частоте. Этот член, однако, исчезает, если наложить условие

Существует еще один вариант однородных граничных условий, когда при при этом случае решение определяется выражениями, аналогичными (44) и (45), но заменяется на принимает лишь нечетные значения. Фундаментальная частота теперь соответствует волне длиной 41, т. е. составляет четверть основной длины волны.